2011九州大 理系数学１

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　　　　まぁとりあえず図を描きましょう。　

　　　　
　　(１)
　　　　直線ＰＨの傾きは－１になるので、その方程式は
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\sqrt t=-(x-t)\end{align*}}$
　　　　これと直線ｙ＝ｘとの交点を求めると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf H \left( \frac{t+\sqrt t}{2}\ ,\ \frac{t+\sqrt t}{2}\right)\end{align*}}$


　　(２)
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a= \frac{t+\sqrt t}{2}\end{align*}}$
　　　　とおくと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\frac{1}{2}(a+1)(a-1)\ +\ \frac{1}{2}\left( \sqrt t +a\right)(t-a)\ -\ \int_1^t \sqrt x \ dx\end{align*}}$
　　　　これを計算すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\frac{1}{4}t^2-\frac{1}{6}t\sqrt t -\frac{1}{4}t+\frac{1}{6}\end{align*}}$





　　　　上の解答では右図のように、
　　　　　　Ｓ₁＝(赤色の台形)＋(青色の台形)－(緑色の部分)
　　　　と考えて求めています。







　　(３)
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=\int_0^1 \left(\sqrt x-x \right)dx=\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}x^2 \right]_0^1=\frac{1}{6}\end{align*}}$
　　　　Ｓ₁＝Ｓ₂より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}t^2-\frac{1}{6}t\sqrt t -\frac{1}{4}t+\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\end{align*}}$
　　　　ｔ≠０なので、両辺をｔで割ると
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}t-\frac{1}{6}\sqrt t -\frac{1}{4}=0\end{align*}}$
　　　　となり、これを解くと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt t =\frac{1+\sqrt 10}{3}\ (\gt 0)\end{align*}}$
　　　　よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t =\frac{11+2\sqrt 10}{9}\end{align*}}$