2012東京大 理系数学３

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　領域Sの境界線を　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C: y=\frac{1}{2}\ x^2\ \ ,\ \ E:\ \frac{x^2}{4}+4y^2=\frac{1}{8}\end{align*}}$
　　　とする。
　　　CとEの交点を求めるために2式を連立させると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{4}+4\left(\frac{1}{2}\ x^2\right)^2=\frac{1}{8}\end{align*}}$
　　　　　⇔　8x⁴+2x²－1=0
　　　　　⇔　(4x²－1)(2x²+1)=0
　　　x²≧0なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\pm\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　よって、CとEの交点は
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\pm\ \frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{8}\right)\end{align*}}$
　　　となり、領域Sを図示すると右図のようになる。


　(1)
　　　Eの式は
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y^2=\frac{1-2x^2}{32}\end{align*}}$
　　　と変形できるので、V₁は図の対称性を考慮に入れて
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1=2\pi\int_0^{1/2}\ \frac{1-2x^2}{32}\ dx-2\pi\int_0^{1/2}\ \left(\frac{1}{2}x^2\right)^2\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\pi}{32}\left[x-\frac{2}{3}\ x^3\right]_0^{1/2}-2\pi\left[\frac{1}{5}\ x^5\right]_0^{1/2}\end{align*}}$
　　　これを計算すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ V_1=\frac{11}{480}\ \pi\ \ }\end{align*}}$


　　　一方、CおよびEの式は
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C:\ x^2=2y\ \ ,\ \ E:\ x^2=\frac{1-32y^2}{2}\end{align*}}$
　　　と変形できるので、V₂は
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_2=\pi\int_0^{1/8}\ 2y\ dy+\pi\int_{1/8}^{1/4\sqrt2}\ \frac{1-32y^2}{2}\ dy\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left[y^2\right]_0^{1/8}-\frac{\pi}{2}\left[y-\frac{1}{3}y^3\right]_{1/8}^{1/4\sqrt2}\end{align*}}$
　　　これを計算すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ V_2=\frac{8\sqrt2-7}{192}\ \pi\ \ }\end{align*}}$


　(2)
　　　(1)で求めたV₁、V₂の差をとると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1-V_2=\frac{11}{480}\ \pi-\frac{8\sqrt2-7}{192}\ \pi\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{57-40\sqrt2}{960}\ \pi\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt{3249}-\sqrt{3200}}{960}\ \pi\ >0\end{align*}}$
　　　よって、V₁＞V₂なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{V_2}{V_1}<1\ \ }\end{align*}}$


　　これはかなり易しめですな。計算ミスだけ気をつけましょう。