2012筑波大 数学６

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【解答】

　(１)
　　　点ＰはＨ上にあるので、
　　　　　　　ｓ²－ｔ²＝－１　････①
　　　直線Lが点Ｐを通ると仮定すると、
　　　　　　　ｓ²－ｔ²＝１　････②
　　　となるが、①、②を同時に満たすｓ、ｔは
　　　存在しないので矛盾する。
　　　よって、直線Lは点Ｐを通らない。

　(２)
　　　ｔ≠０より　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L\ :\ sx-ty=1\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{sx-1}{t}\end{align*}}$
　　　これとＣの方程式を連立させると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-\left(\frac{sx-1}{t}\right)^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ (t^2-s^2)x^2+2sx-1-t^2=0\end{align*}}$
　　　①を代入すると、
　　　　　　　ｘ²＋２ｓｘ－(ｓ²＋２)＝０　････③
　　　③の判別式Ｄは、
　　　　　　　Ｄ/4＝ｓ²＋(ｓ²＋２)＝２(ｓ²＋１)＞０
　　　となるので、②は異なる２つの実数解をもつ。
　　　よって、直線Lと曲線Ｃは異なる２点で交わる。

　　　③の２解をｑ、ｒとすると、LとＣの２交点Ｑ、Ｒは
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q\left(q\ ,\ \frac{sq-1}{t}\right)\ \ ,\ \ R\left(r\ ,\ \frac{sr-1}{t}\right)\end{align*}}$
　　　また、解と係数の関係より、
　　　　　　　ｑ＋ｒ＝－２ｓ 、　ｑｒ＝－(ｓ²＋２)　･･･④
　　　△ＡＢＣの重心をＧ(Ｘ，Ｙ)とすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\frac{1}{3}\ (s+q+r)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{s}{3}\end{align*}}$　　←④より

　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\frac{1}{3}\ \left(t+\frac{sq-1}{t}+\frac{sr-1}{t}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{t^2+s(q+r)-2}{3t}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{t^2-2s^2-2}{3t}\end{align*}}$　←④より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{t}{3}\end{align*}}$　　　←①より
　　　よって、重心Ｇの座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ G\left(-\frac{s}{3}\ ,\ -\frac{t}{3}\right)\ \ }\end{align*}}$

　(３)
　　　Ｐを始点とするベクトルを考える。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}=\left(q-s\ ,\ \frac{sq-1}{t}-t\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf PR}=\left(r-s\ ,\ \frac{sr-1}{t}-t\right)\end{align*}}$
　　　△ＰＱＲの面積をＳとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\left|(q-s)\left(\frac{sr-1}{t}-t\right)-(r-s)\left(\frac{sq-1}{t}-t\right)\right|\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2\ |\ t\ |}\left|(q-s)\left(sr-1-t^2\right)-(r-s)\left(sq-1-t^2\right)\right|\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2\ |\ t\ |}\left|-(q-r)(1+t^2)+(q-r)s^2\right|\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left|\ q-r\ \right|}{|\ t\ |}\end{align*}}$　　←①より

　　　ここで④より、
　　　　　　　　(ｑ－ｒ)²＝(ｑ＋ｒ)²－４ｑｒ
　　　　　　　　　　　　　＝４ｓ²＋４(ｓ²＋２)　　　
　　　　　　　　　　　　　＝８ｔ²　　←①より
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{\sqrt{8t^2}}{|\ t\ |}=2\sqrt2\end{align*}}$

　　　点Ｇは△ＰＱＲの重心なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle=\frac{1}{3}\ S=\frac{2\sqrt2}{3}\end{align*}}$
　　　となり、点Ｐの座標によらず一定である。


　　面積の公式は大丈夫ですか？