2012千葉大 数学９

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【解答】

　(１)
　　　右辺の積分を計算していくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_a^b\ \left(\frac{a+b}{2}-x\right)\ f\ ''(x)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a+b}{2}\int_a^b\ f\ ''(x)\ dx-\int_a^b\ x\ f\ ''(x)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a+b}{2}\left[\ f\ '(x)\ \right]_a^b-\left(\left[\ x\ f\ '(x)\ \right]_a^b-\int_a^b\ (x)'\ f\ '(x)\ dx\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\ f\ (x)\ \right]_a^b\end{align*}}$　　←ｆ’(ａ)＝ｆ’(ａ)＝０より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =f\ (b)-f\ (a)\end{align*}}$


　(２)
　　　時刻０から時刻ｘの間に車が進んだ距離をｆ(ｘ)とおくと、
　　　　　　ｆ(０)＝０ 、　ｆ(Ｔ)＝Ｌ　････①
　　　また、時刻ｘにおける速度はｆ'(ｘ)と表されるので、
　　　　　　ｆ'(０)＝ｆ'(Ｔ)＝０　････②
　　　
　　　ａ＝０、ｂ＝Ｔとおくと、②より(１)の等式が成り立ち、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (T)-f\ (0)=\int_0^T\ \left(\frac{0+T}{2}-x\right)\ f\ ''(x)\ dx\end{align*}}$
　　　これに①を代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\int_0^T\ \left(\frac{T}{2}-x\right)\ f\ ''(x)\ dx\end{align*}}$　････③

　　　一方、時刻ｘにおける加速度はｆ”(ｘ)で表されるので、
　　　時刻０～Ｔにおける加速度の最大値をＡとおくと、
　　　　　　　|ｆ"(ｘ)|≦Ａ　
　　　なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{T}{2}-x\right)\ f\ ''(x)\ \leqq \left|\ \frac{T}{2}-x\ \right|\left|\ f\ ''(x)\right|\ \leqq \left|\ \frac{T}{2}-x\ \right|\ A\end{align*}}$　．
　　　この不等式は、区間０≦ｘ≦Ｔで常に成り立つので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^T\ \left(\frac{T}{2}-x\right)\ f\ ''(x)\ dx\ \leqq \ \int_0^T\ \left|\ \frac{T}{2}-x\ \right|\ A\ dx\end{align*}}$　．
　　　これと③より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L\ \leqq \ A\int_0^T\ \left|\ \frac{T}{2}-x\ \right|\ dx\end{align*}}$　････④
　　　④の右辺は、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\int_0^T\ \left|\ \frac{T}{2}-x\ \right|\ dx=A\int_0^{T/2}\ \left(\ \frac{T}{2}-x\ \right)\ dx+A\int_{T/2}^T\ \left(\ x-\frac{T}{2}\ \right)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =A\left[\frac{T}{2}x-\frac{1}{2}\ x^2\right]_0^{T/2}+A\left[\frac{1}{2}x^2 -\frac{T}{2}x\right]_{T/2}^T\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2A\left(\frac{T^2}{4}x-\frac{1}{2}\cdot\frac{T^2}{4}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{AT^2}{4}\end{align*}}$
　　　　となるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L\leqq\frac{AT^2}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{4L}{T^2}\leqq A\end{align*}}$

　　　よって、この車の加速度の絶対値は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4L}{T^2}\end{align*}}$ 以上である。



　　この手の問題が苦手な人も多いと思いますが（特に物理未選択者）、
　　　　　変位を時間で微分すると速度
　　　　　速度を時間で微分すると加速度
　　ということを知っていれば(２)も問題ないと思います。