2012千葉大 数学８

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【解答】

　(１)
　　　ｎ＝１，２，３として、
　　　　　　ａ₁＝ｐ＋ｑ＋ｒ
　　　　　　ａ₂＝ｐ＋２ｑ＋４ｒ
　　　　　　ａ₃＝ｐ＋３ｑ＋９ｒ
　　　差をとると、
　　　　　　ａ₂－ａ₁＝ｑ＋３ｒ ････①
　　　　　　ａ₃－ａ₂＝ｑ＋５ｒ ････②
　　　さらに、①、②の差をとると、
　　　　　　ａ₃－２ａ₂＋ａ₁＝２ｒ　････③
　　　ここで、{ａ_n}は整数列なので、ａ₁、ａ₂、ａ₃はすべて整数である。
　　　よって、③より、２ｒは整数である。


　(２)
　　　ｎ＝１，２，３，４として、
　　　　　　ｂ₁＝ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ
　　　　　　ｂ₂＝ｐ＋２ｑ＋４ｒ＋８ｓ
　　　　　　ｂ₃＝ｐ＋３ｑ＋９ｒ＋27ｓ
　　　　　　ｂ₄＝ｐ＋４ｑ＋16ｒ＋64ｓ
　　　差をとると、
　　　　　　ｂ₂－ｂ₁＝ｑ＋３ｒ＋７ｓ ････④
　　　　　　ｂ₃－ｂ₂＝ｑ＋５ｒ＋19ｓ ････⑤
　　　　　　ｂ₄－ｂ₃＝ｑ＋７ｒ＋37ｓ ････⑥
　　　さらに順次差をとっていくと、
　　　⑤－④　ｂ₃－２ｂ₂＋ｂ₁＝２ｒ＋12ｓ　････⑦
　　　⑥－⑤　ｂ₄－２ｂ₃＋ｂ₂＝２ｒ＋18ｓ　････⑧
　　　⑧－⑦　ｂ₄－３ｂ₃＋３ｂ₂－ｂ₁＝６ｓ　････⑨

　　　⑨において、{ｂ_n}は整数列なので、ｂ₁～ｂ₄はすべて整数。
　　　よって、６ｓは整数となる。

　　　ここで、６ｓ＝Ｋ　（Ｋ：整数）とおいて、⑦に代入すると、
　　　　　　ｂ₃－２ｂ₂＋ｂ₁＝２ｒ＋２Ｋ
　　　　⇔　２ｒ＝ｂ₃－２ｂ₂＋ｂ₁－２Ｋ　
　　　となり、２ｒも整数となる。

　　　２ｒ＝Ｌ　（Ｌ：整数）とおいて、④に代入すると、
　　　　　　ｂ₂－ｂ₁＝(ｑ＋ｒ＋ｓ)＋２ｒ＋６ｓ
　　　　⇔　ｑ＋ｐ＋ｒ＝ｂ₂－ｂ₁－Ｌ－Ｋ
　　　となり、ｑ＋ｒ＋ｓも整数である。

　　　さらに、ｑ＋ｒ＋ｓ＝Ｍ　（Ｍ：整数）とおくと、
　　　　　　ｂ₁＝ｐ＋(ｑ＋ｒ＋ｓ)
　　　　⇔　ｐ＝ｂ₁－Ｍ
　　　となるので、ｐも整数となる。以上より、必要性は示された。


　　　逆にｐ、ｑ＋ｒ＋ｓ、２ｒ、６ｓがいずれも整数であるとき、
　　　　　ｐ＝Ｎ
　　　　　ｑ＋ｒ＋ｓ＝Ｍ
　　　　　２ｒ＝Ｌ
　　　　　６ｓ＝Ｋ
　　　とおいて（Ｋ、Ｌ、Ｍ、Ｎは整数）、{ｂ}_nが整数列であることを
　　　数学的帰納法で示す。

　　(ⅰ)ｎ＝１のとき
　　　　　ｂ₁＝ｐ＋(ｑ＋ｒ＋ｓ)＝Ｎ＋Ｍ　は整数である。

　　(ⅱ)ｎ＝ｉのとき
　　　　　ｂ_i＝ｐ＋ｑｋ＋ｒｉ²＋ｓｉ³が整数である
　　　　と仮定する。
　　　
　　　　ｎ＝ｉ＋１のとき　　　　　　　
　　　　　ｂ_i+1＝ｐ＋ｑ（ｉ＋１)＋ｒ（ｉ＋１)²＋ｓ（ｉ＋１)³
　　　　　　　　＝(ｐ＋ｑｉ＋ｒｉ²＋ｓｉ³)＋(ｑ＋ｒ＋ｓ)＋２ｒｉ＋３ｓｉ(ｉ＋１)
　　　　　　　　＝ｂ₁＋Ｍ＋Ｌｉ＋$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ Ｋｉ(ｉ＋１)
　　　　　ここで、ｂ_i、Ｍ、Ｌ、Ｍ、ｉはすべて整数であり、
　　　　　連続２整数の積 ｉ(ｉ＋１)は２の倍数なので、ｂ_i+1は整数となる。

　　　よって、任意の自然数ｎに対してｂ_nは整数となるので、十分性も示された。



　　少し丁寧に書きすぎたので、長くなってしまいましたね＾＾；；