2012千葉大 数学４

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【解答】

　　分母がｐ²ｑ²で、ｍより大きくｎより小さい分数全体の集合をＵとする。
　　Ｕの部分集合Ａ、Ｂを
　　　　　Ａ･･･分子がｐの倍数である分数の集合
　　　　　Ｂ･･･分子がｑの倍数である分数の集合
　　とする。
　　まず、
　　　　　　　
　　なので、Ｕに属する分数の分子は、
　　　　　ｍｐ²ｑ²＋１、 ｍｐ²ｑ²＋２、････、ｎｐ²ｑ²－２、 ｎｐ²ｑ²－１
　　であり、Ｕの要素の個数ｎ(Ｕ)は、　
　　　　(ｎｐ²ｑ²－１)－(ｍｐ²ｑ²＋１)＋１＝(ｎ－ｍ)ｐ²ｑ²－１　個　････①

　　Ａに属する分数の分子は、
　　　　　ｍｐ²ｑ²＋ｐ、 ｍｐ²ｑ²＋２ｐ、････、ｎｐ²ｑ²－２ｐ、 ｎｐ²ｑ²－ｐ
　　すなわち、
　　　　　(ｍｐｑ²＋１)ｐ、 (ｍｐｑ²＋２)ｐ、････、(ｎｐｑ²－２)ｐ、 (ｎｐｑ²－１)ｐ
　　であり、その個数ｎ(Ａ)は、
　　　　 (ｎｐｑ²－１)－(ｍｐｑ²＋１)＋１＝(ｎ－ｍ)ｐｑ²－１　個　････②

　　同様に考えると、Ｂの要素の個数ｎ(Ｂ)は
　　　　　(ｎ－ｍ)ｐ²ｑ－１　個　････③

　　また、ＡとＢの共通部分Ａ∩Ｂに属する分数の分子は、
　　　　　ｍｐ²ｑ²＋ｐｑ、 ｍｐ²ｑ²＋２ｐｑ、････、 ｎｐ²ｑ²－ｐｑ
　　すなわち、
　　　　　(ｍｐｑ＋１)ｐｑ、 (ｍｐｑ＋２)ｐｑ、････、 (ｎｐｑ－１)ｐｑ
　　であり、その個数ｎ(Ａ∩Ｂ)は、
　　　　 (ｎｐｑ－１)－(ｍｐｑ＋１)＋１＝(ｎ－ｍ)ｐｑ－１　個　････④

　　Ｕに属する分数のうち、
　　分子がｐでもｑでも割り切れない分数は、
　　集合Ａ∪Ｂに属するので、その要素の個数ｎ(Ａ∪Ｂ)は、
　　　　　ｎ(Ａ∪Ｂ)＝ｎ(Ｕ)－ｎ(Ａ)－ｎ(Ｂ)＋ｎ(Ａ∩Ｂ)
　　で求めることができる。
　　①－②－③＋④を計算すると、
　　　　　ｎ(Ａ∪Ｂ)＝(ｎ－ｍ)(ｐ²ｑ²－ｐｑ²－ｐ²ｑ＋ｐｑ)
　　　　　　　　　　＝(ｎ－ｍ)ｐｑ(ｐ－１)(ｑ－１)　個



　　文字ばかりでグチャグチャになりそうですが、大丈夫ですか？