2012千葉大 数学２

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【解答】

　(１)
　　　△ＡＢＣで余弦定理を用いると、　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos A=\frac{5^2+8^2-7^2}{2\cdot5\cdot 8}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　0＜∠Ａ＜180°なので、
　　　　　　　∠Ａ＝60°　

　(２)
　　　△ＡＢＣの外接円の半径をＲとし、正弦定理を用いると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2R=\frac{BC}{\sin 60^{\circ}}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ R=\frac{7\sqrt3}{3}\ \ }\end{align*}}$

　(３)
　　　四面体ＯＡＢＣに外接する球の中心をＯ’、半径をｒとすると、
　　　　　　ＯＯ’＝ＡＯ’＝ＢＯ’＝ＣＯ’＝ｒ．
　　　これと、ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ｔより
　　　　　　△ＯＡＯ’≡△ＯＢＯ’≡△ＯＣＯ’
　　　となるので、
　　　　　　∠ＡＯＯ’＝∠ＢＯＯ’＝∠ＣＯＯ’．
　　　ここで、ＯＯ’の延長と平面ＡＢＣの交点をＨとすると、
　　　　　　△ＯＡＨ≡△ＯＢＨ≡△ＯＣＨ
　　　より、
　　　　　　ＡＨ＝ＢＨ＝ＣＨ
　　　となるので、Ｈは△ＡＢＣの外心と一致する。

　　　また、ＯＡ＝ＯＢ、ＨＡ＝ＨＢより、直線ＯＨは
　　　線分ＡＢの垂直二等分面上にある。
　　　同様に考えると、直線ＯＨは線分ＢＣの垂直二等分面上に
　　　あるので、
　　　　　　　ＯＨ⊥平面ＡＢＣ．
　　　よって、
　　　　　　　∠ＯＨＡ＝∠ＯＨＢ＝∠ＯＨＣ＝90°
　　　　　
　　　右図の△Ｏ'ＡＨおよび△ＯＡＨにおいて
　　　三平方の定理を用いると、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf O'A^2=O'H^2+AH^2\ \ \Leftrightarrow\ \ r^2=O'H^2+\frac{49}{3}\end{align*}}$　･･･①
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OA^2=PH^2+AH^2\ \ \Leftrightarrow\ \ t^2=(r+O'H)^2+\frac{49}{3}\end{align*}}$　･･･②
　　　①より、ｒが最小となるのはＯ'Ｈ＝０のときであり、
　　　このとき、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r^2=\frac{49}{3}\end{align*}}$
　　　となるので、②より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2=\frac{49}{3}+\frac{49}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=\frac{7\sqrt6}{3}\ \ }\end{align*}}$


　　(３)が難しいかもしれませんね。