点の列Ｐ_nの一般式を出すために、行列Ａⁿを求めるのば王道ですが、いろんなやり方が
　　　　あるにも関わらず、どの求め方もけっこう面倒なんですよね･････
　　　　で、いくつか実験してみたところ、簡単な式になりそうなので、インチキっぽい解き方で
　　　　ごまかすことにしました。まずは、Ｐ₁、Ｐ₂あたりを求めてみましょう。　


　　　　Ｐ₁
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \begin{pmatrix}\sf 3&\sf -1\\ \sf 4&\sf -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 1\\ \sf 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 2\\ \sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　Ｐ₂
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \begin{pmatrix}\sf 3&\sf -1\\ \sf 4&\sf -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 2\\ \sf 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 3\\ \sf 5\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　Ｐ₃
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \begin{pmatrix}\sf 3&\sf -1\\ \sf 4&\sf -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 3\\ \sf 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 4\\ \sf 7\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　Ｐ₄
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \begin{pmatrix}\sf 3&\sf -1\\ \sf 4&\sf -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 4\\ \sf 7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 5\\ \sf 9\end{pmatrix}\end{align*}}$

　　　　よって、Ｐ_nの座標は(ｎ＋１，２ｎ＋１)と類推できる。
　　　　これを数学的帰納法で示す。

　　　　(ⅰ) ｎ＝１のときは自明
　　　　(ⅱ) ｎ＝ｋのとき、Ｐ_k(ｋ＋１，２ｋ＋１)になると仮定する。
　　　　　 　ｎ＝ｋ＋１のとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \begin{pmatrix}\sf 3&\sf -1\\ \sf 4&\sf -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf \sf k+1\\ \sf 2\sf k+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 3(\sf k+1)-(2\sf k+1)\\ \sf 4(\sf k+1)-(2\sf k+1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf \sf k+2\\ \sf 2\sf k+3\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　となり、ｎ＝ｋ＋１のときも成立する。
　　　　　(ⅰ)、(ⅱ)より
　　　　　　　　Ｐ_nの座標は(ｎ＋１，２ｎ＋１)と表せる。


　　　　ここまでくれば、残りは楽チンです。　


　　　　２点Ｐ_n、Ｑ間の距離をｄとすると、
　　　　　ｄ²＝(ｎ＋１－10)²＋(２ｎ＋１－10)²
　　 　　　　＝５ｎ²－54ｎ＋162
　　　　　　 ＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 5\left(n-\frac{27}{5}\right)^2-\frac{27^2}{5}+162\end{align*}}$

　　　　ｎは自然数なので、ｎ＝５でｄは最小となる。


　　　　以上で東北大は終わりです。