2012千葉大 数学１

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【解答】

　　与式の右辺をｆ(ｘ)とおくと、　
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left(x-\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}+a\end{align*}}$

　(ⅰ) １≦ｘ≦２に異なる２解をもつ場合
　　　　　　　ｆ(１)＝１＞０ は常にOK
　　　　　　　ｆ(２)＝４－ａ≧０　⇔　ａ≦４
　　　　また、頂点についての条件は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq\frac{a}{2}\leqq 2\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\leqq a\leqq 4\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{a^2}{4}+a<0\ \ \Leftrightarrow\ \ a<0\ ,\ 4\lt a\end{align*}}$
　　　　これらを同時に満たすａは存在しない。


　(ⅱ) ３≦ｘ≦４に異なる２解をもつ場合
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (3)=9-2a\geqq0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq\frac{9}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (4)=16-3a\geqq0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq\frac{16}{3}\end{align*}}$
　　　　また、頂点についての条件は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3\leqq\frac{a}{2}\leqq 4\ \ \Leftrightarrow\ \ 6\leqq a\leqq 8\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{a^2}{4}+a<0\ \ \Leftrightarrow\ \ a<0\ ,\ 4\lt a\end{align*}}$
　　　　これらを同時に満たすａは存在しない。


　(ⅲ) １≦ｘ≦２と３≦ｘ≦４にそれぞれ１つずつ解をもつ場合
　　　　　　　ｆ(１)＝１＞０ は常にOK
　　　　　　　ｆ(２)＝４－ａ≦０　⇔　ａ≧４
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (3)=9-2a\leqq0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\geqq\frac{9}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (4)=16-3a\geqq0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq\frac{16}{3}\end{align*}}$
　　　　これらを同時に満たすａは
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9}{2}\leqq a\leqq\frac{16}{3}\end{align*}}$

　(ⅰ)～(ⅲ)より、求めるａの値の範囲は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{9}{2}\leqq a\leqq\frac{16}{3}\ \ }\end{align*}}$


　　場合分けさえできれば問題ないでしょう。