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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012東北大 理系数学6





第6問

  数列{an}を
     $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=1\ \ ,\ \ a_{n+1}=\sqrt{\frac{3a_n+4}{2a_n+3}}\ \ \ \ \ \ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
  で定める。以下の問いに答えよ。

 (1) n≧2のとき、an>1となることを示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \alpha ^2=\frac{3\alpha+4}{2\alpha+3}\end{align*}}$ を満たす正の実数$\small\sf{\alpha}$ を求めよ。

 (3) すべての自然数nに対してan<$\small\sf{\alpha}$ となることを示せ。

 (4) 0<r<1を満たすある実数rに対して、不等式
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\alpha-a_{n+1}}{\alpha-a_n}\leqq r\ \ \ \ \ \ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。さらに、極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n\end{align*}}$ を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/25(木) 01:16:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2012
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