2012東北大 理系数学５

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【解答】

　(１)
　　　ＡＢは直径なので、∠ＡＰＢ＝90°であり、
　　　　　　　∠ＡＰＱ＝90－60＝30°

　　　また、△ＡＰＢで三平方の定理を用いると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP=\sqrt{AB^2-PB^2}=\sqrt{1-x^2}\end{align*}}$

　　　ここで、　△ＰＡＢ＝△ＰＡＱ＋△ＰＢＱ なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\ x\sqrt{1-x^2}=\frac{1}{2}\ y\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}\ xy\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\frac{2x\sqrt{1-x^2}}{\sqrt3x+\sqrt{1-x^2}}\ \ }\end{align*}}$


　(２)
　　　△ＰＡＢにおいて、∠ＰＡＢ＝$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PB=x=\sin \theta\ \ ,\ \ PA=\sqrt{1-x^2}=\cos \theta\end{align*}}$　････①
　　　となるので、(１)で求めたｙは
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{2\sin \theta\ \cos \theta}{\sqrt3 \sin\theta+\cos \theta}\end{align*}}$
　　　と表せる。これを$\scriptsize\sf{\theta}$ で微分すると、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y'=\frac{2(\cos^2 \theta-\sin^2 \theta)(\sqrt3 \sin\theta+\cos \theta)-2\sin \theta\ \cos \theta(\sqrt3 \cos\theta-\sin \theta)}{(\sqrt3 \sin\theta+\cos \theta)^2}\end{align*}}$ ．
　　　分子を展開して整理すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y'=\frac{2\cos^3 \theta-2\sqrt3 \sin^3 \theta}{(\sqrt3 \sin\theta+\cos \theta)^2}\end{align*}}$
　　　となるので、ｙ’＝０となるのは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos^3 \theta=\sqrt3 \sin^3 \theta\ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\theta=\frac{1}{\sqrt[6] 3}\end{align*}}$ ．
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\alpha=\frac{1}{\sqrt[6] 3}\ \ \ \ (0<\alpha<\pi/2)\end{align*}}$
　　　とおいて、増減表を書くと下のようになる。
　　　　　　

　　　これより、$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝$\scriptsize\sf{\alpha}$ のときｙは最大となる。
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{\sqrt[6]3}\end{align*}}$
　　　分母を払い、両辺を２乗
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt[3]3\ x^2=1-x^2\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=\frac{1}{1+\sqrt[3]3}\end{align*}}$
　　　ｘ＞０より、両辺の平方根をとると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{1}{\sqrt{1+\sqrt[3]3}\ \ }}\end{align*}}$


　　(１)の結論をそのままｘで微分してもできますが、計算が少し面倒です。