2012東北大 理系数学３

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【解答】

　(１)
　　　Ａのカードの数字を、取り出した順にａ、ｂ、ｃ、ｄとする。
　　　Ｂのカードの取り出し方は全部で、４！＝24通りある。

　　　Ｘ＝１
　　　　どの数が一致するかはａ～ｄの４通り。
　　　　ここで仮にａが一致したとすると、Ｂの２～４枚目のカードは、
　　　　それぞれｂ、ｃ、ｄと異なる必要があるので、ｃ、ｄ、ｂの順に
　　　　取り出すか、ｄ、ｂ、ｃの順に取り出すかの２通り。
　　　　他の場合も同様に考えることができるので、全部で４×２＝８通り。
　　　　よって、Ｘ＝１となる確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{8}{24}=\underline{\ \frac{1}{3}\ \ }\end{align*}}$

　　　Ｘ＝２
　　　　どの２数が一致するかは₄Ｃ₂＝６通り。
　　　　ここで仮にａとｂが一致したとすると、Ｂの３、４枚目のカードは、
　　　　それぞれｃ、ｄと異なる必要があるので、ｄ、ｃの順に取り出せばよい。
　　　　他の場合も同様に考えることができるので、全部で６×１＝６通り。
　　　　よって、Ｘ＝２となる確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6}{24}=\underline{\ \frac{1}{4}\ \ }\end{align*}}$

　　　Ｘ＝３
　　　　このような場合はあり得ないので、確率は ０

　　　Ｘ＝４
　　　　Ｂもａ、ｂ、ｃ、ｄの順に取り出せばよいので、確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{24}\ \ }\end{align*}}$


　(２)
　　　Ａ、Ｂそれぞれに３枚のカードが入っている状態において、
　　　　　(ア) 引いたカードの数字が一致する （確率 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ ）
　　　　　(イ) 引いたカードの数字が一致しない （確率 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ ）
　　　の２つの場合が考えられる。

　　　ｎ回目で初めてカードが取り除かれるのは、
　　　１回目から(ｎ－１)回目はカードが一致せず、ｎ回目に一致すればよい。

　　　　　　　　　

　　　その確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\cdot\frac{1}{3}=\underline{\ \frac{2^{n-1}}{3^n}\ \ }\end{align*}}$　････①

　　　次に、Ａ、Ｂそれぞれに２枚のカードが入っている状態において、
　　　　　(ウ) 引いたカードの数字が一致する （確率 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ）
　　　　　(エ) 引いたカードの数字が一致しない （確率 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ）
　　　の２つの場合が考えることができる。

　　　また、Ａ、Ｂそれぞれに１枚のカードが入っている状態においては、
　　　引いたカードの数字は必ず一致する。････(オ)

　　　以上のことを踏まえて、ｎ回目にすべてのカードが取り除かれる
　　　確率ｑ_nを求める。
　　　まず、３枚のカードすべてを２回目までに取り除くことはできないので、
　　　　　　　　ｑ₁＝ｑ₂＝０．

　　　以下は、ｎ≧３のときを考える。
　　　ｋ回目に初めてカードを取り除くとすると、この確率は①より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_k=\frac{2^{k-1}}{3^k}\end{align*}}$
　　　(オ)より、次にカードを取り除くのは(ｎ－１)回目の操作を行うときなので、
　　　(ｋ＋１)回目から(ｎ－２)回目までの(ｎ－ｋ－２)回の操作は、
　　　Ａ、Ｂそれぞれに２枚ある状態で、引いたカードが一致しなければよい。

　　　　　　　
　　
　　　よって、
　　　ｋ回目にカードを初めて取り除き、ｎ回目にすべてを取り除く確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_k\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k-2}\cdot \frac{1}{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^n\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^k\end{align*}}$
　　　ｋの値は１からｎ－２までとり得るので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_n=\sum_{k=1}^{n-2}\left(\frac{1}{2}\right)^n\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^k\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{1}{2}\right)^n\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{\left(\frac{4}{3}\right)^{n-2}-1}{\frac{4}{3}-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}\ \ }\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$


　　(１)は書き出せば問題ないでしょう。
　　(２)のｑ_nが難しいですねぇ。