共役複素数の定義をきちんと覚えていますか？　　


　　(１)
　　　　与式の両辺にｚをかけると、
　　　　　　　ｚ²－ｚ－ａ＝０･･････①
　　　　(ⅰ) ｚ＝０が解となるとき、ａ＝０
　　　　　　逆にこのとき、与式はｚ－１＝０となるので、方程式の解はｚ＝１

　　　　(ⅱ) ａ≠０のとき
　　　　　　①より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=\frac{1 \pm \sqrt{1+4\sf a}}{2} \end{align*}}$


　　(２)
　　　　与式の両辺にｚをかけると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z \ \overline{\sf z}+z=a\ \ldots\ldots(\ast)\end{align*}}$
　　　　ここで、実数ｘ、ｙを用いて、ｚ＝ｘ＋ｙｉとおく。
　　　　　　（ただし、ｚ≠０より(ｘ，ｙ)≠(０，０)）

　　　　ｚの共役複素数はｘ－ｙｉなので、(*)式は
　　　　　　　ｘ²＋ｙ²＋ｘ＋ｙｉ＝ａ
　　　　ｘ、ｙ、ａは実数なので、両辺の成分を比較すると、
　　　　　　　ｙ＝０ かつ ａ＝ｘ²＋ｙ²＋ｘ （ただし、ｘ≠０）
　　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a =\left( x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\end{align*}}$
　　　　なので、右図のグラフより
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a \geqq -\frac{1}{4}\end{align*}}$


　　(３)
　　　　与式の両辺にｚをかけると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \left(\sf z \ \overline{\sf z}\right)^2+\sf z \ \overline{\sf z}-\sf a=0\end{align*}}$
　　　　すなわち、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\left(\sf z \ \overline{\sf z}\right)^2+\sf z \ \overline{\sf z}=\left( \sf z \ \overline{\sf z}+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\end{align*}}$
　　　　ここで、実数ｘ、ｙを用いて、ｚ＝ｘ＋ｙｉとおくと、
　　　　　（ただし、ｚ≠０より(ｘ，ｙ)≠(０，０)）
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z \ \overline{\sf z}=x^2+y^2\gt 0\end{align*}}$
　　　　なので、右図のグラフより
　　　　　　　ａ＞０