2012東北大 理系数学２

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【解答】

　(１)
　　　直線ｙ＝ｍｘがｘ軸正方向となす角を$\scriptsize\sf{\theta}$ （０≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ ）とおくと、
　　　　　　　　ｍ＝tan$\scriptsize\sf{\theta}$ 　

　　　ｘｙ平面上の点Ｐをｘ軸および直線ｙ＝ｍｘについて
　　　対称移動させた点をそれぞれＰ’、Ｐ”とおく。

　　　∠ＰＯＰ’、∠ＰＯＰ”はそれぞれｘ軸および直線
　　　ｙ＝ｍｘによって二等分されるので、
　　　　　　　　∠Ｐ’ＯＰ”＝２$\scriptsize\sf{\theta}$
　　　よって、直線ｙ＝ｍｘに関する対称移動（Ｐ→Ｐ”）は、
　　　ｘ軸について対称移動（Ｐ→Ｐ’）した後に、
　　　原点中心に２$\scriptsize\sf{\theta}$ だけ回転させる移動（Ｐ’→Ｐ”）
　　　と一致する。

　　　ｘ軸対称移動および原点中心に２$\scriptsize\sf{\theta}$ の回転移動はそれぞれ、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 1&\sf \ \ 0\\ \sf 0&\sf -1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix}\sf \cos2\theta&\sf -\sin2\theta\\ \sf \sin2\theta&\sf \ \ \cos2\theta\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　という行列で表されるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf \cos2\theta&\sf -\sin2\theta\\ \sf \sin2\theta&\sf \ \ \cos2\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 1&\sf \ \ 0\\ \sf 0&\sf -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf \cos2\theta&\sf \ \ \sin2\theta\\ \sf \sin2\theta&\sf -\cos2\theta\end{pmatrix}\end{align*}}$　････①

　　　ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan^2\theta+1=\frac{1}{\cos^2\theta}\end{align*}}$　より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos^2\theta=\frac{1}{1+m^2}\end{align*}}$
　　　cosの倍角公式より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos 2\theta+1=2\cos^2\theta-1=\frac{1-m^2}{1+m^2}\end{align*}}$　･･･②
　　　一方、tanの倍角公式より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan 2\theta=\frac{2\ \tan\theta}{1-\tan^2\theta}=\frac{2m}{1-m^2}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin 2\theta=\tan2\theta\times\cos 2\theta=\frac{2m}{1+m^2}\end{align*}}$　･･･③

　　　これらを①に代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix} \sf 1-m^2&\sf 2m \\ \sf 2m & \sf m^2-1 \end{pmatrix}\end{align*}}$


　(２)
　　　一次変換ｆを表す行列は、(１)で求めたＡにｍ＝１を代入したものなので、
　　　ｇ￮ｆを表す行列Ｂは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix} \sf 1-m^2&\sf 2m \\ \sf 2m & \sf m^2-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1 \\ \sf 1 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix} \sf 2m &\sf 1-m^2 \\ \sf m^2-1 & \sf 2m \end{pmatrix}}\end{align*}}$

　
　(３)　　
　　　(２)で求めたＢに②、③を代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix}\sf \sin2\theta&\sf \ \ \cos2\theta\\ \sf -\cos2\theta&\sf \sin2\theta\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　ここで、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=\sin\alpha\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos\alpha\end{align*}}$
　　　なので、行列Ｂは　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix} \sf \sin\left(2\theta-\pi/2\right)&\sf -\cos\left(2\theta-\pi/2\right) \\ \sf \cos\left(2\theta-\pi/2\right) & \sf \sin\left(2\theta-\pi/2\right)\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　と変形できる。これより、
　　　行列Ｂは、原点中心に$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\theta-\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ だけ回転させる移動を表すので、
　　　Ｂ³は、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 6\theta-\frac{3\pi}{2}\end{align*}}$ だけ回転させる移動を表す。
　　　一方、与式の右辺は単位行列なので、一般角で考えると
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 6\theta-\frac{\pi}{2}=2n\ \pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\left(\frac{1}{4}+\frac{n}{3}\right)\ \pi\end{align*}}$　（ｎは整数）
　　　０≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta=\frac{1}{4}\pi\ ,\ \frac{7}{12}\pi\ ,\ \frac{11}{12}\pi\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\tan\theta=\tan\frac{1}{4}\pi\ ,\ \tan\frac{7}{12}\pi\ ,\ \tan\frac{11}{12}\pi\end{align*}}$
　　　加法定理を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\frac{7}{12}\pi=\tan\left(\frac{1}{3}\pi+\frac{1}{4}\pi\right)=\frac{1+\sqrt3}{1-1\cdot\sqrt3}=2+\sqrt3\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\frac{11}{12}\pi=\tan\left(\frac{2}{3}\pi+\frac{1}{4}\pi\right)=\frac{1-\sqrt3}{1+1\cdot\sqrt3}=2-\sqrt3\end{align*}}$

　　　以上より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=1\ ,\ 2\pm\sqrt3\end{align*}}$



　　(１)を三角関数を用いて考えると、(３)も自然なんでしょうけど・・・