2012北海道大 文系数学１

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【解答】

　(１)
　　　ＱはＯＢをｎ：ｍに内分する点なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\frac{n}{m+n}\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
　　　ＳはＡＱを１：ｘに外分する点なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OS}=\frac{-x\ \overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OQ}}{1-x}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{x}{x-1}\ \overrightarrow{\sf a}+\frac{n}{(m+n)(1-x)}\ \overrightarrow{\sf b}\ \ }\end{align*}}$


　(２)
　　　(１)と同様に計算すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{m}{m+n}\ \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OT}=\frac{m}{(m+n)(1-x)}\ \overrightarrow{\sf a}+\frac{x}{x-1}\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
　　　３点Ｏ、Ｓ、Ｔは一直線上にあるので、実数ｋを用いて
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OS}=k\ \overrightarrow{\sf OT}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{x}{x-1}\ \overrightarrow{\sf a}+\frac{n}{(m+n)(1-x)}\ \overrightarrow{\sf b}=\frac{km}{(m+n)(1-x)}\ \overrightarrow{\sf a}+\frac{kx}{x-1}\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
　　　と表すことができる。
　　　ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は一次独立なので、係数を比較すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x}{x-1}=\frac{km}{(m+n)(1-x)}\end{align*}}$　　　かつ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{(m+n)(1-x)}=\frac{kx}{x-1}\end{align*}}$
　　　これよりｋを消去すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x}{x-1}\cdot\frac{x}{x-1}=\frac{n}{(m+n)(1-x)}\cdot\frac{m}{(m+n)(1-x)}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x^2=\frac{mn}{(m+n)^2}\end{align*}}$
　　　ｍ、ｎ、ｘ＞０なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{\sqrt{mn}}{m+n}\ \ }\end{align*}}$


　　そんなに難しくないでしょうから、図は省略ということで。