2012北海道大 理系数学４

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【解答】

　(１)
　　　ｆ(c)=ｇ(c)より
　　　　　　　c²－2ac+b=c²－2bc+a
　　　　　⇔　－2(a－b)c=a－b．
　　　a≠bより、両辺をa－bで割ると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ c=-\frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$


　(２)
　　　まず、ｆ(x)とｇ(x)の大小を比べると、
　　　　　　ｆ(x)－ｇ(x)＝(x²－2ax+b)－(x²－2bx+a)
　　　　　　　　　　　　　＝2(b－a)x+b－a
　　　　　　　　　　　　　＝(b－a)(2x+1)
　　　　　　　　　　　　　＝2(b－a)(x－c)　　←(１)より
　　　これより、a＜bであるならば、
　　　　　　(ⅰ) x＜cのとき、ｆ(x)＜ｇ(x)
　　　　　　(ⅱ) x＝cのとき、ｆ(x)＝ｇ(x)
　　　　　　(ⅲ) x＞cのとき、ｆ(x)＞ｇ(x)
　　　となる。よって、
　　　　　「連立方程式 ｆ(x)＜0 かつ ｇ(x)＜0 が解をもつ」････(※)
　　　ためには、
　　　　　　(ア) x＜cの範囲に、ｇ(x)＜0となるxが存在する。
　　　　　　(イ) ｆ(c)=ｇ(x)＜0となる。
　　　　　　(ウ) x＞cの範囲に、ｆ(x)＜0となるxが存在する。
　　　のいずれかを満たせばよい。
　　　　
　　　一方、
　　　　　　　ｆ(x)＝(x－a)²+b－a²　、g(x)＝(x－b)²+a－b²
　　　と変形できるので、
　　　放物線y=ｆ(x)およびy=g(x)の頂点の座標はそれぞれ
　　　　　　　(a，b－a²) 、　(b，a－b²)
　　　
　　　a＜c＜bのとき、x＜bの範囲でｇ(x)は単調減少なので、
　　　(イ)を満たせば(ア)も満たすことになる。
　　　同様に、a＜xの範囲でｆ(x)は単調増加なので、
　　　(イ)を満たせば(ウ)も満たすことになる。

　　　よって、(※)を満たすための必要十分条件は、(イ)を満たすことである。
　　　求める条件は、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (c)=\left(-\frac{1}{2}\right)^2-2a\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+b<0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 4a+4b+1<0\ \ }\end{align*}}$


　(３)
　　　(イ)を満たす場合は、a＜c＜bの場合に限らず常に(※)を満たすので、
　　　以下は、(イ)を満たさない、すなわち4a+4b+1≧0の場合を考える。

　　　a＜b＜cのとき、
　　　　　　　　ｇ(b)=a－b²＜0
　　　であれば、(ア)を満たすので、(※)も満たすことになる。

　　　c＜a＜bのとき、
　　　　　　　　ｆ(a)=b－a²＜0
　　　であれば、(ウ)を満たすので、(※)も満たすことになる。

　　　以上のことと、2つの放物線b=a²、 a=b²がともに
　　　直線4a+4b+1=0に接することを考慮に入れて図を描くと
　　　下図のようになる。（境界線上の点は含まない）

　　　　　　　

　
　　グラフで考えると簡単でしょうけど････