2012北海道大 理系数学２

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【解答】

　(１)
　　　cosの倍角公式を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\cos2\theta=1-2\sin^2\theta=1-2x^2}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{f(\theta)=4(1-2x^2)x+3\sqrt2(1-2x^2)-4x}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-8x^3-6\sqrt2 x^2+3\sqrt2\end{align*}}$


　(２)
　　　xの関数g(x)を
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)=-8x^3-6\sqrt2 x^2+3\sqrt2\end{align*}}$
　　　とおくと、その導関数は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g'(x)=-24x^2-12\sqrt2\end{align*}}$ ｘ
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-12\sqrt2 ｘ(\sqrt2 x+1)\end{align*}}$

　　　ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ････① より　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf -1\leqq\sin\theta\leqq 1 \ \ \Leftrightarrow\ \ -1\leqq x\leqq 1}$ ････②
　　　なので、②の範囲でｇ(ｘ)の増減表を書くと、下の通り。

　　　　　　

　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (0)-g\ (-1)=6\sqrt2-8=\sqrt{72}-\sqrt{64}>0\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ \left(-\frac{1}{\sqrt2}\right)-g\ (1)=5\sqrt2+8>0\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　x=0すなわち$\scriptsize\sf{\theta=0}$のとき、$\scriptsize\sf{f(\theta)}$ は最大 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3\sqrt2\end{align*}}$
　　　　　　x=1すなわち$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\theta=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{f(\theta)}$ は最小 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -8-3\sqrt2\end{align*}}$



　(３)
　　　①の範囲においては、1つの$\scriptsize\sf{\theta}$ の値に対して
　　　1つのxの値が対応するので、

　　　　　　$\scriptsize\sf{f(\theta)=k}$ を満たす$\scriptsize\sf{\theta}$ が①の範囲内に3個ある
　　　　⇔　g(x)=kを満たすｘが②の範囲内に3個ある

　　　よって、②の範囲でy=g(x)のグラフを描くと
　　　右図のようになり、
　　　これと直線y=kが異なる3点で
　　　共有点をもてばよいので、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 2\sqrt2\lt k\leqq 8-3\sqrt2\ \ }\end{align*}}$
　　　であればよい。



　　よくある話ですね。