青木ゼミ青木2011東北大　理系数学４

2011東北大　理系数学４

第４問

　　

　

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　　　まぁとりあえず、ＡＱとＢＰの交点Ｒの位置を求めるところからでしょう。
　　　普通だと、ＡＲ：ＲＱとＢＲ：ＲＰの比を文字でおいて係数比較するんでしょうけど、
　　　計算が面倒なので、今回はメネラウスでごまかします。　　

　　　　メネラウスの定理
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{QO}{BQ}\times\frac{AP}{OA}\times\frac{RB}{PR}=\frac{1}{1}\times\frac{1-t}{1}\times\frac{RB}{PR}=1\end{align*}}$
　　　　より、ＰＲ：ＲＢ＝(１－ｔ)：１となるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OR}=\frac{\overrightarrow{\sf OP}+(1-\sf t)\overrightarrow{\sf OB}}{(1-\sf t)+1}=\frac{\sf t \overrightarrow{\sf a}+(1-\sf t)\overrightarrow{\sf b}}{2-\sf t}\end{align*}}$
　　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\overrightarrow{\sf OR}\ \cdot\ \overrightarrow{\sf AB}=\frac{\sf t \overrightarrow{\sf a}+(1-\sf t)\overrightarrow{\sf b}}{2-\sf t}\ \cdot\ \left(\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a} \right)\end{align*}}$･････①
　　　　ここで、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\left| \overrightarrow{\sf a} \right|=3\ \ ,\ \ \left| \overrightarrow{\sf b} \right|=2\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=6\cos\theta\end{align*}}$
　　　　を用いて①を計算すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\overrightarrow{\sf OR}\ \cdot\ \overrightarrow{\sf AB}=\frac{\sf 6(2t-1)\cos\theta-13t+4}{2-\sf t}\end{align*}}$･････①’

　　　ここまでが準備段階。計算ミスにさえ気をつければ大丈夫でしょう。
　　　ここからが本論ですが、少し整理しておくと、ＯＲとＡＢが垂直にならないということは、
　　　①'が０にならないということです。
　　　「どのように$\scriptsize\sf{\theta}$ をとっても～」とあるので、$\scriptsize\sf{\theta}$ を変数と考えるのが普通でしょう。　
　　　このとき０＜ｔ＜１より、分母２－ｔ＞０なので、分子だけを考えると楽ですね。
　　　以下が、答案の続きです。

　　　　Ｘ＝cos$\scriptsize\sf{\theta}$ （－１＜Ｘ＜１）とし、
　　　　ｆ(Ｘ)＝６(２ｔ－１)Ｘ－13ｔ＋４（ｔは定数）とおくと、
　　　　関数ｆ(Ｘ)は区間－１＜Ｘ＜１において単調関数なので、ｆ(－１)とｆ(１)が異符号で
　　　　なければ、この区間内でｆ(Ｘ)＝０とはなりえない。
　　　　よって、
　　　　　ｆ(－１)･ｆ(１)＝(－25ｔ＋10)(ｔ＋２)≧０
　　　　これと０＜ｔ＜１より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\frac{2}{5} \leqq \sf t\lt 1\end{align*}}$

　　　下の図のようにｆ(－１)とｆ(１)が異符号になると、－１＜Ｘ＜１の範囲でＦ(Ｘ)＝０が
　　　解を持ってしまい、不適です。　

　　　　　　　　　　　　　