(１)は色々な式が作れそうですので、まぁ適当にいじっていれば解けそうですが。　　


　　(１)
　　　　Ａ(ａ，－ａ)、Ｂ(０，１)とおくと、ＰＡ²＝ＰＢ²なので、
　　　　　　(Ｘ－ａ)²＋(Ｙ＋ａ)²＝Ｘ²＋(Ｙ－１)²
　　　　これを整理すると、
　　　　　　ｘ²－２ＸＹ＋Ｙ²－４Ｙ＋２＝０･･････①
　　　　また、直線ＰＡとｙ＝－ｘは直交するので、
　　　　ＰＡの傾きは１である。
　　　　よって、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{Y-(-a)}{X-a}=1\end{align*}}$
　　　　すなわち、
　　　　　　Ｘ＝Ｙ＋２ａ･･････②
　　　　これを①に代入して整理すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=a^2+\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　②より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=a^2+2a+\frac{1}{2}\end{align*}}$


　　　①が表す曲線の概形についてですが、点Ｐは、直線ｙ＝－ｘと点Ｂから
　　　等しい距離にある点なので、直線ｙ＝－ｘを準線、点Ｂを焦点とする放物線上を動きます。
　　　放物線の定義ですね。
　　　ということに気づかなくても、面積を求めるだけならば下の解答のように、直線ｙ＝１との
　　　上下関係だけ調べればＯＫです。間違っても微分なんかししちゃダメですよ！！　
　　　

　　(２)
　　　　Ｙ＝１となるのは、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=a^2+\frac{1}{2}=1\end{align*}}$
　　　　より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\pm \frac{1}{\sqrt 2}\end{align*}}$　　
　　　　このときのＸの値は
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=1\pm \sqrt 2\end{align*}}$(複号同順)　　
　　　　また、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{\sqrt 2} \leqq a \leqq \frac{1}{\sqrt 2}\end{align*}}$
　　　　の範囲では常にＹ≦１なので、求める面積をＳとすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{1-\sqrt2}^{1+\sqrt 2}(1-Y)dX\end{align*}}$
　　　　ここで、(１)より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=a^2+2a+\frac{1}{2}\ \ ,\ \ \sf Y=a^2+\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　と置換すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dX}{da}=2a+2\end{align*}}$
　　　　積分区間も考慮に入れると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{-\frac{1}{\sqrt2}}^{\frac{1}{\sqrt 2}}\left(1-\left(a^2-\frac{1}{2}\right)\right)(2a+2)da\end{align*}}$
　　　　これを計算すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{2}{3}\sqrt 2\end{align*}}$


　　　もちろん(１)で得られた媒介変数表示を利用して積分です。