第3問
実数s、tが$\small\sf{s^2+t^2\leqq 6}$ を満たしながら変わるとき、xy平面上で点$\small\sf{(s+t\ ,\ st)}$ が動く領域を
Aとする。このとき以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\left(2\ ,\ \sqrt2\right)}$ が領域Aの点かどうか判定せよ。
(2) Aを図示せよ。
(3) Aをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s+t=X\ ,\ \ st=Y\end{align*}}$
とおくと、解と係数の関係より、s、tはzについての二次方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z^2-Xz+Y=0 \end{align*}}$
の2解となる。s、tは実数なので、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D=X^2-4Y\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ Y\leqq\frac{X^2}{4}\end{align*}}$ ･･････(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf X=2\ ,\ Y=\sqrt2\end{align*}}$ は(ⅰ)を満たさないので、点$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(2\ ,\ \sqrt2\right) \end{align*}}$ は領域Aの点ではない。
(2)
与えられた条件より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s^2+t^2=(s+t)^2-2st\leqq 6 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ X^2-2Y\leqq 6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ Y\geqq \frac{X^2}{2}-3\end{align*}}$ ･･････(ⅱ)
ここで、2つの放物線
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C_1:\ y=\frac{1}{4}x^2\ ,\ \ C_2:\ y=\frac{1}{2}x^2-3\end{align*}}$
の共有点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{4}x^2=\frac{1}{2}x^2-3\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm 2\sqrt3\end{align*}}$
以上より、(ⅰ)、(ⅱ)を同時に満たす領域を図示すると下図のようになる。
(3)
領域Aのy≦0の部分をx軸について対称移動させると、下図のようになる。
C2をx軸について対称に移動した放物線$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C_3:\ y=-\frac{x^2}{2}+3 \end{align*}}$ とC1との共有点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{x^2}{2}+3=\frac{x^2}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm 2\end{align*}}$
求める回転体の体積をVとすると、図の対称性より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf 2\pi\int_0^2\left(-\frac{x^2}{2}+3\right)^2dx+2\pi\int_2^{2\sqrt3}\left(\frac{x^2}{4}\right)^2dx-2\pi\int_{\sqrt6}^{2\sqrt3}\left(\frac{x^2}{2}-3\right)^2dx \end{align*}}$
となり、これを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V=\underline{\frac{16}{5}\left(7-3\sqrt3+3\sqrt6\right)\pi}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/06/10(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2019
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