第1問
以下の問いに答えよ。ただし、$\small{\sf\log }$ は自然対数、eはその底とする。
(1) bを実数とする。関数
$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\int_x^be^{-\frac{t^2}{2}}dt-\frac{x}{x^2+1}e^{-\frac{x^2}{2}}\end{align*}}$
は単調に減少することを示せ。
(2) a≦bを満たす正の実数a、bに対し、不等式
$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{a}{a^2+1}e^{-\frac{a^2}{2}}-\frac{b}{b^2+1}e^{-\frac{b^2}{2}}\leqq\int_a^be^{-\frac{t^2}{2}}dt\leqq e^{-\frac{a^2}{2}}\left(b-a\right)\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(3) 数列$\small{\rm I_{\sf n}}$ を次のように定める。
$\small\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf n}\sf =\int_1^2e^{-\frac{nt^2}{2}}dt\ \ \ (n=1,2,3,\cdots ) \end{align*}}$
このとき極限$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\rm I_{\sf n}\end{align*}}$
を求めよ。ただし、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log \left(n+1\right)=0\end{align*}}$
を用いてもよい。
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【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\int_x^be^{-\frac{t^2}{2}}dt-\frac{x}{x^2+1}e^{-\frac{x^2}{2}}\end{align*}}$
(1)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)&=\sf -e^{-\frac{x^2}{2}} -\frac{1\cdot (x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}e^{-\frac{x^2}{2}}-\frac{x}{x^2+1}\cdot\left(-xe^{-\frac{x^2}{2}}\right)\\ &=\sf \frac{-(x^2+1)^2-(x^2+1)+2x^2+x^2(x^2+1)^2}{(x^2+1)^2}e^{-\frac{x^2}{2}}\\ &=\sf -\frac{2}{(x^2+1)^2}e^{-\frac{x^2}{2}}\lt 0\end{align*}}$
となるので、f(x)は単調に減少する。
(2)
（１）より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a\leqq b&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf f(b)\leqq f(a) \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \int_b^be^{-\frac{t^2}{2}}dt-\frac{b}{b^2+1}e^{-\frac{b^2}{2}}\leqq\int_a^be^{-\frac{t^2}{2}}dt-\frac{a}{a^2+1}e^{-\frac{x^2}{2}}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{a}{a^2+1}e^{-\frac{a^2}{2}}-\frac{b}{b^2+1}e^{-\frac{b^2}{2}}\leqq\int_a^be^{-\frac{t^2}{2}}dt\end{align*}}$
一方、x＞0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right)'=-xe^{-\frac{b^2}{2}}\lt 0\end{align*}}$
より、関数$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf e^{-\frac{x^2}{2}}\end{align*}}$ は単調に減少するので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a\leqq t\leqq b \end{align*}}$ を満たす実数tに対して常に
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf e^{-\frac{t^2}{2}}\leqq e^{-\frac{a^2}{2}} \end{align*}}$
が成り立つ。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_a^be^{-\frac{t^2}{2}}dt&\leqq\sf \int_a^be^{-\frac{a^2}{2}}dt\\ &=\sf \left[e^{-\frac{a^2}{2}}t\right]_a^b\\ &=\sf e^{-\frac{a^2}{2}}\left(b-a\right)\end{align*}}$
以上より、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{a}{a^2+1}e^{-\frac{a^2}{2}}-\frac{b}{b^2+1}e^{-\frac{b^2}{2}}\leqq\int_a^be^{-\frac{t^2}{2}}dt\leqq e^{-\frac{a^2}{2}}\left(b-a\right) \end{align*}}$
が成り立つ。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s=\sqrt{n}\ t \end{align*}}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{ds}{dt}=\sqrt{n}\end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t:1\rightarrow 2\end{align*}}$ に対して$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s:\sqrt{n}\rightarrow 2\sqrt{n} \end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf n}&=\sf \int_1^2e^{-\frac{nt^2}{2}}dt\\ &=\sf \int_{\sqrt{n}}^{2\sqrt{n}}e^{-\frac{s^2}{2}}\cdot\frac{ds}{\sqrt{n}} \\ &=\sf \frac{1}{\sqrt{n}}\int_{\sqrt{n}}^{2\sqrt{n}}e^{-\frac{s^2}{2}}ds\end{align*}}$
(2)の不等式において、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=\sqrt{n}\ (\geqq 1)\ ,\ \ b=2\sqrt{n}\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{\sqrt{n}}{n+1}e^{-\frac{n}{2}}-\frac{2\sqrt{n}}{4n+1}e^{-2n}\leqq\int_{\sqrt{n}}^{2\sqrt{n}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt\leqq e^{-\frac{n}{2}}\left(2\sqrt{n}-\sqrt{n}\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{n+1}e^{-\frac{n}{2}}-\frac{2}{4n+1}e^{-2n}\leqq \frac{1}{\sqrt{n}}\int_{\sqrt{n}}^{2\sqrt{n}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\rm I_{\sf n}\sf \leqq e^{-\frac{n}{2}} \ \ \ \cdots\cdots\cdots (*)\end{align*}}$
ここで、関数$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)\end{align*}}$ を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)=\frac{x}{x^2+1}e^{-\frac{x^2}{2}}\ \ \ (x\geqq 1)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g'(x)&=\sf \frac{1\cdot (x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}e^{-\frac{x^2}{2}}+\frac{x}{x^2+1}\cdot\left(-xe^{-\frac{x^2}{2}}\right) \\ &=\sf \frac{-x^4-2x^2+1}{(x^2+1)^2}e^{-\frac{x^2}{2}}\\ &=\sf -\frac{(x^2+1)^2-2}{(x^2+1)^2}e^{-\frac{x^2}{2}}\\ &\geqq\sf 0\ \ \ \ \left(\because\ x\geqq 1\right)\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)\end{align*}}$ は単調に減少する。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{n+1}e^{-\frac{n}{2}}-\frac{2}{4n+1}e^{-2n}=g\left(\sqrt{n}\right)-g\left(2\sqrt{n}\right)\gt 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)\end{align*}}$ の各辺の自然対数をとると、e＞1なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \log\left(\frac{1}{n+1}e^{-\frac{n}{2}}-\frac{2}{4n+1}e^{-2n}\right)\leqq \log\rm I_{\sf n}\sf \leqq -\frac{n}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{n}\log\left(\frac{1}{n+1}e^{-\frac{n}{2}}-\frac{2}{4n+1}e^{-2n}\right)\leqq \frac{1}{n}\log\rm I_{\sf n}\sf \leqq -\frac{1}{2}\end{align*}}$
この式の左辺は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf \frac{1}{n}\log\left(\frac{1}{n+1}e^{-\frac{n}{2}}-\frac{2}{4n+1}e^{-2n}\right)\\ =&\sf \frac{1}{n}\log\frac{e^{-\frac{n}{2}}}{n+1}\left\{1-\frac{2(n+1)}{4n+1}e^{-\frac{3}{2}n}\right\} \\ =&\sf \frac{1}{n}\log e^{-\frac{n}{2}}-\frac{1}{n}\log\left(n+1\right)+\frac{1}{n}\log\left\{1-\frac{2(n+1)}{4n+1}e^{-\frac{3}{2}n}\right\} \\ =&\sf -\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\log\left(n+1\right)+\frac{1}{n}\log\left\{1-\frac{2+\frac{2}{n}}{\left(4+\frac{1}{n}\right)e^{\frac{3}{2}n}}\right\} \end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\left(n+1\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\left\{1-\frac{2+\frac{2}{n}}{\left(4+\frac{1}{n}\right)e^{\frac{3}{2}n}}\right\} =0\cdot \log (1-0)=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\left(\frac{1}{n+1}e^{-\frac{n}{2}}-\frac{2}{4n+1}e^{-2n}\right)=-\frac{1}{2} \end{align*}}$
はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\rm I_{\sf n}=\underline{-\frac{1}{2}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/06/08(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2019
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