第2問
pを実数の定数とする。xの2次方程式
$\small\sf{\begin{align*}\sf x^2-\left(2p+|p|-|p+1|+1\right)x+\frac{1}{2}\left(2p+3|p|-|p+1|-1\right)=0\end{align*}}$
について以下の問いに答えよ。
(1) この2次方程式は実数解をもつことを示せ。
(2) この2次方程式が異なる2つの実数解$\small\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ をもち、かつ$\small\sf{\alpha^2+\beta^2\leqq 1}$ となるような
定数pの値の範囲を求めよ。
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【解答】
(1)
与式を(A)とおく。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (i)\ 0\leqq p\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |p|=p\ ,\ \ |p+1|=p+1\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (A)\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-2px+2p-1=0\end{align*}}$
判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4=p^2-(2p-1)=(p-1)^2\geqq 0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (ii)\ -1\leqq p\lt 0\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |p|=-p\ ,\ \ |p+1|=p+1\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (A)\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-(p+1)=0\end{align*}}$
判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4=p+1\geqq 0 \ \ \left(\because\ -1\leqq p\lt 0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (iii)\ p\lt -1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |p|=-p\ ,\ \ |p+1|=-(p+1)\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (A)\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-2(p+1)x=0\end{align*}}$
判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4=(p+1)^2\gt 0 \ \ \left(\because\ p\lt -1\right)\end{align*}}$
いずれの場合も$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D\geqq 0\end{align*}}$ となるので、(A)は実数解をもつ。
(2)
$\scriptsize\sf{\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\leqq 1\ \ \ \cdots\cdots (B)}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (i)\ 0\leqq p\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ p\ne 1\end{align*}}$
解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha+\beta=2p\ ,\ \ \alpha\beta=2p-1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (B)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf (2p)^2-2(2p-1)\leqq 1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 4p^2-4p+1=(2p-1)^2\leqq 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf p=\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (ii)\ -1\leqq p\lt 0\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ -1\lt p\end{align*}}$
解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha+\beta=0\ ,\ \ \alpha\beta=-(p+1)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (B)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 0+2(p+1)\leqq 1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf p\leqq -\frac{1}{2}\end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -1\lt p\leqq -\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (iii)\ p\lt -1\end{align*}}$ のとき
常に$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D\gt 0\end{align*}}$ なので、異なる2つの実数解をもつ。
解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha+\beta=2p+2\ ,\ \ \alpha\beta=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (B)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf (2p+2)^2\leqq 1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf p-\frac{3}{2}\leqq p\leqq -\frac{1}{2}\end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{3}{2}\leqq p\leqq -\frac{1}{2}\end{align*}}$
以上より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{-\frac{3}{2}\leqq p\lt -1\ ,\ \ -1\lt p\leqq -\frac{1}{2}\ ,\ \ p=\frac{1}{2}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/06/01(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2019
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