第4問
関数$\small\sf{f(x)=e^x\sin x\ \ \left(0\leqq x\leqq\pi\right)}$ に対して、次の問いに答えよ。
(1) 関数$\small\sf{\begin{align*}\sf y=f(x)\end{align*}}$ の増減、極値、グラフの凹凸および変曲点を調べて、
そのグラフを描け。
(2) 関数$\small\sf{\begin{align*}\sf y=f(x)\end{align*}}$ とx軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
(3) (2)の図形をx軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ。
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【解答】
(1)
f(x)の第1次および第2次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)&=\sf e^x+\sin x+e^x\cos x \\ &=\sf\sqrt2\ e^x\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f''(x) &=\sf \sqrt2\ e^x\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt2\ e^x\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) \\ &=\sf 2e^x\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\\ &=\sf 2e^x\cos x\end{align*}}$
となるので、f(x)の増減、凹凸は次のようになる。
[極値]
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{3}{4}\pi\end{align*}}$ のとき極大値$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\frac{\sqrt2}{2}e^{\frac{3}{4}\pi}}\end{align*}}$
極小値なし
[グラフの凹凸]
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲で下に凸
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}\leqq x\leqq\pi\end{align*}}$ の範囲で上に凸
[変曲点]
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(\frac{\pi}{2}\ ,\ e^{\frac{\pi}{2}}\right)}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{0\leqq x\leqq \pi}$ の範囲で常に$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)\geqq 0\end{align*}}$ なので、求める面積をSとおくと、
部分積分法より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_0^{\pi}e^x\sin xdx \\ &=\sf \bigg[e^x\sin x\bigg]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}e^x\cos xdx\\ &=\sf 0-\bigg[e^x\cos x\bigg]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}e^x(-\sin x)dx\\ &=\sf e^{\pi}+1-S\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ S=\underline{\frac{1}{2}\left(e^{\pi}+1\right)}\end{align*}}$
(3)
求める回転体の体積をVとおくと、半角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf\pi\int_0^{\pi}\left(e^x\sin x\right)^2dx \\ &=\sf\pi\int_0^{\pi}e^{2x}\sin^2 xdx \\ &=\sf\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}\left(e^{2x}-e^{2x}\cos2x\right)dx \end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T=\int_0^{\pi}e^{2x}\cos2xdx \end{align*}}$
とおくと、部分積分法より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T&=\sf\left[\frac{1}{2}e^{2x}\cos 2x\right]_0^{\pi}-\frac{1}{2}\int_0^{\pi}2^{2x}\cdot\left(-2\sin 2x\right)dx \\ &=\sf\frac{1}{2}\left(e^{2\pi}-1\right)+\int_0^{\pi}e^{2x}\sin 2xdx \\ &=\sf\frac{1}{2}\left(e^{2\pi}-1\right)+\left[\frac{1}{2}e^{2x}\sin 2x\right]_0^{\pi}-\frac{1}{2}\int_0^{\pi}2^{2x}\cdot\left(2\cos2x\right)dx \\ &=\sf\frac{1}{2}\left(e^{2\pi}-1\right)-T\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ T=\frac{1}{4}\left(e^{2\pi}-1\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf\frac{\pi}{2}\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_0^{\pi}-\frac{\pi}{2}\cdot T \\ &=\sf \underline{\frac{\pi}{8}\left(e^{2\pi}-1\right)}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/05/30(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2019
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