第2問
次の問いに答えよ。
(1) a、b、cは実数とする。
(ⅰ) 不等式$\small\sf{\begin{align*}\sf 3(a^2+b^2+c^2)\geqq (a+b+c)^2\end{align*}}$ を示せ。
(ⅱ) (ⅰ)の不等式で等号が成立するための必要十分条件を求めよ。
(2) a、bは正の実数で、$\small\sf{ab\geqq 1+a+b}$ を満たしている。
(ⅰ) 不等式$\small\sf{a+b\geqq 2\left(1+\sqrt2\right)}$ を示せ。
(ⅱ) (ⅰ)の不等式で等号が成立するための必要十分条件を求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf 3(a^2+b^2+c^2)-2(a+b+c)^2\\ =&\sf 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca \\ =&\sf (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\\ =&\sf (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\\ \geqq&\sf 0\end{align*}}$
より、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3(a^2+b^2+c^2)\geqq (a+b+c)^2 \end{align*}}$
が成り立つ。
等号成立は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a-b=b-c=c-a\end{align*}}$ すなわち、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{a=b=c}\end{align*}}$ のときである。
(2)
a、bは正の実数なので、相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\geq ab \end{align*}}$
これと、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf ab\geqq 1+a+b\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\geq 1+a+b&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf (a+b)^2-4(a+b)-4\geqq 0 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a+b\geqq 2(1+\sqrt2)\ \ \ \ \left(\because\ a+b\gt 0\right) \end{align*}}$
が成り立つ。
相加・相乗平均の等号が成立するのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=b\end{align*}}$ なので、不等式$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a+b\geqq 2(1+\sqrt2) \end{align*}}$
の等号が成立するのは、
$\scriptsize\sf{\underline{a=b=1+\sqrt2}}$
のときである。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/05/28(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2019
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