第1問
△ABCと点Pが
$\small\sf{4\overrightarrow{\sf AP}-6\overrightarrow{\sf BP}+\overrightarrow{\sf CP}=\overrightarrow{\sf 0}}$
を満たしているとき、次の問いに答えよ。
(1) 直線ABと直線PCの交点を$\small\sf{Q}$ とするとき、$\small\sf{\overrightarrow{\sf AQ}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf AB}}$ を用いて表せ。
(2) 三角形の面積比△PBC：△PCA：△PABを求めよ。
(3) 直線ABと直線PCが直交し、かつ直線ACと直線PBが直交するとき、cos∠BACを求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4\overrightarrow{\sf AP}-6\overrightarrow{\sf BP}+\overrightarrow{\sf CP}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\left(\overrightarrow{\sf CP}-\overrightarrow{\sf CA}\right)-6\left(\overrightarrow{\sf CP}-\overrightarrow{\sf CB}\right)+\overrightarrow{\sf CP}=\overrightarrow{\sf 0} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf CP}&=\sf -4\overrightarrow{\sf CA}+6\overrightarrow{\sf CB} \\ &=\sf 2\cdot\frac{-2\overrightarrow{\sf CA}+3\overrightarrow{\sf CB}}{-2+3}\ \ \cdots\cdots\cdots(*)\end{align*}}$
点$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\end{align*}}$ は2直線AB、CPの交点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CQ}=\frac{-2\overrightarrow{\sf CA}+3\overrightarrow{\sf CB}}{-2+3}\end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\end{align*}}$ は線分ABを3:2の比に外分する点なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB:AQ=1:3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\overrightarrow{\sf AQ}=3\overrightarrow{\sf AB}}\end{align*}}$
(2)
(1)より 
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle PBC=\frac{2}{3}\triangle PCA\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf CP}=2\overrightarrow{\sf CQ} \end{align*}}$
より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf CQ=PQ\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle PAB&=\sf\frac{1}{3}\triangle PAQ \\ &=\sf \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\triangle PCA\\ &=\sf\frac{1}{6}\triangle PCA \end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=\frac{2}{3}: 1:\frac{1}{6}=\underline{4:6:1} \end{align*}}$
(3)
2直線PB、ACの交点をRとすると、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle AQC=\angle PRC=90^{\circ}\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle AQC\backsim\triangle PRC\backsim\triangle PQB\end{align*}}$ なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB=x\ ,\ \ BQ=2x\ ,\ \ PQ=CQ=y\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf AQ:QC=PQ:QB\\\ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf 3x:y=y:2x \\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf y=\sqrt6\ x\ \ \ \left(\because\ x,y\gt 0\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AC&=\sf\sqrt{AQ^2+CQ^2} \\ &=\sf \sqrt{(3x)^2+\left(\sqrt{15}\ x\right)^2}\\ &=\sf \sqrt{15}\ x\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\angle BAC=\frac{AQ}{AC}=\frac{3x}{\sqrt{15}\ x}=\underline{\frac{\sqrt{15}}{5}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/05/27(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2019
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