第4問
座標平面上の点$\small\sf{\left(1,\ 0\right)}$ を中心として半径1の円をCとする。実数tは$\small\sf{0\leqq t\leqq\pi}$ の範囲
を動くとし、C上の点$\small\sf{P(\cos t+1\ ,\ \sin t)}$ における接線をLとする。Lに垂直で原点を通る
直線をmとし、Lとmの交点をHとするとき、以下の問いに答えよ。
(1) 点Hの座標を求めよ。
(2) $\small\sf{0\lt t\lt\pi}$ のとき、原点、H、Pを頂点とする三角形の面積をS(t)とし、$\small\sf{t=0}$ または
$\small\sf{t=\pi}$ のとき、S(t)=0とする。tの関数S(t)の最大値を求めよ。
(3) S(t)が最大値をとるtの値を$\small\sf{t_0}$ とする、tが0から$\small\sf{t_0}$ まで動いたときに点Hが通過する
道のりを求めよ。ここで、「点Hが通過する道のり」とは、tが0から$\small\sf{t_0}$ まで動くときに点H
が描く曲線の長さのことである。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{A\left(1,\ 0\right)\ ,\ B\left(2,\ 0\right)}$ とすると、$\scriptsize\sf{AP//m}$ より
$\scriptsize\sf{\angle HOA=\angle PQB=t}$
Aからmにおろした垂線の足を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\end{align*}}$ とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AQ=OA\sin t=\sin t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OQ=OA\cos t=\cos t\end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{H\left(X,\ Y\right)}$ とおくと
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OH=OQ+QH=1+\cos t \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf X=OH\cos t=(1+\cos t)\cos t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Y=OH\sin t=(1+\cos t)\sin t\end{align*}}$
となるので、Hの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{H\big(\left(1+\cos t\right)\cos t\ ,\ \left(1+\cos t\right)\sin t\big)}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S(t)&=\sf \triangle OPH \\ &=\sf \frac{1}{2}OH\times AQ\\ &=\sf\frac{1}{2}\left(1+\cos t\right)\sin t \end{align*}}$
tで微分すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S'(t)&=\sf \frac{1}{2}\cdot (-\sin t)\sin t+\frac{1}{2}(1+\cos t)\cos t \\ &=\sf \frac{1}{2}(\cos^2t-1)+\frac{1}{2}(\cos^2t+\cos t)\\ &=\sf \frac{1}{2}(2\cos^2t+\cos t-1)\\ &=\sf\frac{1}{2}(2\cos t-1)(\cos t+1) \end{align*}}$
となるので、S(t)の増減は次のようになる。
よって、S(t)の最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S(t)_{max}&=\sf S\left(\frac{\pi}{3}\right) \\ &=\sf \frac{1}{2}\cdot \left(1+\cos\frac{\pi}{3}\right)\sin\frac{\pi}{3}\\ &=\sf \underline{\frac{3\sqrt3}{8}}\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t_0=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dX}{dt}&=\sf -\sin t\cos t+(1+\cos t)\cdot (-\sin t) \\ &=\sf -2\sin t\cos t-\sin t\\ &=\sf -\sin 2t-\sin t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dY}{dt}&=\sf -\sin^2t+(1+\cos t)\cos t \\ &=\sf \cos^2t-\sin^2t+\cos t\\ &=\sf \cos2t+\cos t\end{align*}}$
求める道のりをsとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s&=\sf \int_0^{t_0}\sqrt{\left(\frac{dX}{dt}\right)^2+\left(\frac{dY}{dt}\right)^2}dt \\ &=\sf \int_0^{t_0}\sqrt{\left(-\sin 2t-\sin t\right)^2+\left(\cos 2t+\cos t\right)^2}dt\\ &=\sf \int_0^{t_0}\sqrt{\sin^22t+\cos^22t+\sin^2t+\cos^2t+2\left(\cos 2t\cos t+\sin 2t\sin t\right)}dt\\ &=\sf\sqrt2\int_0^{t_0}\sqrt{1+\cos t}dt \\ &=\sf 2\int_0^{t_0}\sqrt{\cos^2\frac{t}{2}}dt\\ &=\sf 2\int_0^{t_0}\cos\frac{t}{2}\ dt\ \ \ \ \left(\because\ 0\lt\frac{t}{2}\lt\frac{t_0}{2}=\frac{\pi}{6}\right)\\ &=\sf 4\left[\ \sin\frac{t}{2}\ \right]_0^{t_0}\\ &=\sf 4\left(\sin \frac{t_0}{2}-\sin 0\right)\\ &=\sf \underline{2} \end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/05/26(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2019（理系）
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