第3問
aを実数の定数とし、直線$\small\sf{L:\ y=x}$ と曲線$\small\sf{C:\ y=x^2+a}$ は、ある点で接しているとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1) aの値と、直線Lと曲線Cの接点の座標を求めよ。
(2) 原点をOとする。x座標がtである曲線C上の点をPとし、Pから直線Lに下した垂線を
PHとする。線分PHの長さと線分OHの長さをそれぞれtの式で表せ。
(3) 直線Lと曲線Cおよび直線$\small\sf{\begin{align*}\sf y=-x\end{align*}}$ で囲まれた図形を直線Lのまわりに1回転して
できる立体の体積を求めよ。
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【解答】
(1)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=x^2+a\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-x+a=0\ \ \ \cdots\cdots\cdots(*)\end{align*}}$
となり、これっが重解をもてばよいので、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D=1-4a=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{a=\frac{1}{4}}\end{align*}}$
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2-x+\frac{1}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=0 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=\frac{1}{2}\end{align*}}$
となるので、接点の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(\frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{2}\right)}\end{align*}}$
(2)
CはLより上側にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(t\ ,\ t^2+\frac{1}{4}\right)\ ,\ \ Q(t\ ,\ t) \ ,\ \ R(t\ ,\ 0) \end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PQ=t^2-t+\frac{1}{4}\end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle PQH\ ,\ \ \triangle OQR\end{align*}}$ はともに直角二等辺三角形なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PH=QH&=\sf\frac{1}{\sqrt2}\ PQ \\ &=\sf \frac{1}{\sqrt2}\left(t^2-t+\frac{1}{4}\right)\\ &=\sf \underline{\frac{1}{\sqrt2}\left(t-\frac{1}{2}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OQ=\sqrt2\ OR=\sqrt2\ t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OH&=\sf OQ+QH \\ &=\sf \sqrt2\ t+\frac{1}{\sqrt2}\left(t^2-t+\frac{1}{4}\right)\\ &=\sf \frac{1}{\sqrt2}\left(t^2+t+\frac{1}{4}\right)\\ &=\sf \underline{\frac{1}{\sqrt2}\left(t+\frac{1}{2}\right)^2}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf u=OH=\frac{1}{\sqrt2}\left(t+\frac{1}{2}\right)^2\ ,\ \ \ v=PH=\frac{1}{\sqrt2}\left(t-\frac{1}{2}\right)^2\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{du}{dt}=\sqrt2\left(t+\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf u:0\rightarrow\frac{\sqrt2}{2}\end{align*}}$ のとき $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t: -\frac{1}{2}\rightarrow\frac{1}{2} \end{align*}}$ が対応するので、
求める回転体の体積をVとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf\pi\int_0^{\frac{\sqrt2}{2}}v^2du \\ &=\sf\pi\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{2}\right)^4\cdot\sqrt2\left(t+\frac{1}{2}\right)dt \\ &=\sf\frac{\pi}{\sqrt2}\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(t-\frac{1}{2}\right)^4\left(t-\frac{1}{2}+1\right)dt \\ &=\sf\frac{\pi}{\sqrt2}\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left\{\left(t-\frac{1}{2}\right)^5+\left(t-\frac{1}{2}\right)^4\right\}dt \\ &=\sf\frac{\pi}{\sqrt2}\left[\frac{1}{6}\left(t-\frac{1}{2}\right)^6+\frac{1}{5}\left(t-\frac{1}{2}\right)^5\right]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\\ &=\sf \underline{\frac{\pi}{30\sqrt2}} \end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/05/25(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2019（理系）
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