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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009大阪府立大 工学部 数学5(4)



第5問

  a>1、0<$\small\sf{\theta}$ <1とする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) 積分
       $\small\sf{\begin{align*} \sf I_a\ (\theta)=\int_0^{(1-\theta)\pi}\ \sin ax\ \sin x\ dx\end{align*}}$
    を計算し、Ia($\small\sf{\theta}$ )をaと$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (2) 極限
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\pi}\frac{\sin ax}{\sin x}\end{align*}}$
    が正の値に収束するためのaの条件を求めよ。

 (3) (2)の条件を満たすaに対して、極限
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\frac{\sin\{a(1-\theta)\pi\}}{\theta}\end{align*}}$
    をaを用いて表せ。

 (4) (2)の条件を満たすaに対して、極限
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\frac{1}{\theta^3}\ I_a\ (\theta)\end{align*}}$
    をaを用いて表せ。なお、x≧0であるすべてのxに対して、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf x-\frac{1}{6}x^2\ \leqq \sin x\ \leqq\ x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5\end{align*}}$
    が成り立つことを用いてもよい。


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2012/03/06(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2009(工)
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