第1問
nを自然数とする。2つの数列$\small\sf{\{a_n\}}$ と$\small\sf{\{S_n\}}$ を次のように定める。$\small\sf{a_1=1}$ とし、
xが$\small\sf{0\lt x\lt a_n}$ の範囲を動くとき、座標平面上の4点$\small\sf{(a_n,\ 0)\ ,\ (x,\ 0)\ ,\ (x,\ x^2)\ ,\ (a_n,\ x^2)}$
を頂点とする長方形の
面積が最大となるxの値を$\small\sf{a_{n+1}}$ とし、そのときの長方形の面積をSnとする。このとき、
以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{a_{n+1}\ ,\ S_n}$ をそれぞれ$\small\sf{a_n}$ の式で表せ。
(2) $\small\sf{a_n\ ,\ S_n}$ をそれぞれnの式で表せ。
(3) $\small\sf{S_1+S_2+\cdots +S_n}$ をnの式で表せ。
(4) $\small\sf{S_1+S_2+\cdots +S_n\gt 0.2105}$ となる最小のnの値を求めよ。ただし、
$\small\sf{\log_{10}2=0.3010\ ,\ \log_{10}3=0.4771}$ とする。
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【解答】
(1)
4点$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (a_n,\ 0)\ ,\ (x,\ 0)\ ,\ (x,\ x^2)\ ,\ (a_n,\ x^2)\end{align*}}$ を頂点とする長方形の面積を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T_n(x)\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt x\lt a_n\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T_n(x)=(a_n-x)x^2=-x^3+a_nx^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T_n'(x)=-3x^3+2a_nx=x(-3x+2a_n)\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt x\lt\frac{2}{3}a_n\end{align*}}$ の範囲で $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T_n'(x)\gt 0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{2}{3}a_n\end{align*}}$ で $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T_n'(x)=0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{3}a_n\lt x\lt a_n\end{align*}}$ の範囲で $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T_n'(x)\lt 0 \end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T_n(x)\end{align*}}$ は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{2}{3}a_n \end{align*}}$ のときに最大となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{a_{n+1}=\frac{2}{3}a_n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n&=\sf T_n\left(\frac{2}{3}a_n\right)\\ &=\sf -\left(\frac{2}{3}a_n\right)^3+a_n\left(\frac{2}{3}a_n\right)^2\\ &=\sf\underline{\frac{4}{27}a_n^3} \end{align*}}$
(2)
(1)より数列$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\{a_n\}\end{align*}}$ は公比$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{3} \end{align*}}$ の等比数列をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}a_1=\underline{\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=\frac{4}{27}\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\right\}^3=\underline{\frac{4}{27}\left(\frac{8}{27}\right)^{n-1}}\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_1+S_2+\cdots +S_n&=\sf \frac{\frac{4}{27}\left\{1-\left(\frac{8}{27}\right)^n\right\}}{1-\frac{4}{27}} \\ &=\sf \underline{\frac{4}{19}\left\{1-\left(\frac{8}{27}\right)^n\right\}} \end{align*}}$
(4)
(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_1+S_2+\cdots +S_n=\frac{4}{19}\left\{1-\left(\frac{8}{27}\right)^n\right\}\gt 0.2105\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{8}{27}\right)^n\lt\frac{1}{8000}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{2}{3}\right)^n\lt\frac{1}{20}\end{align*}}$
両辺の常用対数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_{10}\left(\frac{2}{3}\right)^n\lt\log_{10}\frac{1}{20}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\log_{10}2-\log_{10}3\right)n\lt -\log_{10}2-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0.1761n\gt 1.3010\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n\gt 7.38\cdots\end{align*}}$
これを満たす最小の自然数は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{n=8}\end{align*}}$ である。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/05/23(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2019（理系）
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