第4問
aを正に実数の定数とし、曲線$\small\sf{y=x^3-3a^2x}$ をCとする。正の実数tに対し、曲線C上の
点$\small\sf{P(t\ ,\ t^3-3a^2t)}$ における接線をLとし、CとLの共有点でP以外の点を$\small\sf{Q}$ とするとき、
以下の問いに答えよ。
(1) 点$\small\sf{Q}$ の座標を求めよ。
(2) 曲線Cと接線Lによって囲まれた部分の面積を求めよ。
(3) 条件「点$\small\sf{Q}$ における曲線Cの接線がLに垂直である」を満たす正の実数tがただ1つ
存在するとき、正の実数aの値を求めよ。また、そのときの正の実数tの値を求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=x^3-3a^2+x\end{align*}}$
とおくと、導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=3x^2-3a^2 \end{align*}}$
となるので、接線Lの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L:y=(t^3-3a^2t)=(3t^2-3a^2)(x-t)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=(3t^2-3a^2)x-2t^3\end{align*}}$
CとLの共有点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf x^3-3a^2+x=(3t^2-3a^2)x-2t^3\\ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf x^3-3t^2x+2t^3=0\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf (x-t)^2(2x+2t)=0\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf x=t\ ,\ \ -2t\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{Q(-2t\ ,\ -8t^3+6a^2t)}\end{align*}}$
(2)
CとLの位置関係は図のようになるので、求める面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf\int_{-2t}^t\left[x^3-3a^2x-\left\{(3t^2-3a^2)x-2t^3\right\}\right]dx \\ &=\sf\int_{-2t}^t(x-t)^2(x+2t)dx\\ &=\sf\int_{-2t}^t(x-t)^2\left\{(x-t)+3t\right\}dt\\ &=\sf\int_{-2t}^t\left\{(x-t)^3+3t(x-t)^2\right\}dt\\ &=\sf\left[\frac{1}{4}(x-t)^4+t(x-t)^3\right]_{-2t}^t \\ &=\sf \underline{\frac{27}{4}t^4}\end{align*}}$
(3)
Pにおける接線⊥$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\end{align*}}$ における接線 なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf f'(t)\cdot f'(-2t)=-1\\\ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf (3t^2-3a^2)(12t^2-3a^2)=-1 \\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf 36t^4-45a^2t^2+9a^4+1=0\ \ \ \cdots\cdots\cdots (*)\end{align*}}$
ここで関数$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)&=\sf 36x^2-45a^2x+9a^2+1\\ &=\sf 36\left(x-\frac{5}{8}a^2\right)^2-\frac{81}{16}a^4+1\end{align*}}$
とおくと、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)\end{align*}}$ の実数解のうちでt＞0を満たすものがただ1つになるためには、
方程式$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)=0\end{align*}}$ の実数解のうちでx＞0を満たすものがただ1つであればよい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{5}{8}a^2\gt 0\ ,\ \ \ g(0)=9a^4+1\gt 0\end{align*}}$
より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)=0\end{align*}}$ がx＞0の範囲で重解をもてばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{81}{16}a^4+1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{a=\frac{2}{3}\ (\gt 0)}\end{align*}}$
このとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 36t^4-20t^2+\frac{25}{9}=0 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(6t^2-\frac{5}{3}\right)^2=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf t^2=\frac{5}{18}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{t=\frac{\sqrt{10}}{6}\ (\gt 0)}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/05/22(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2019（文系）
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