第3問
以下の問いに答えよ。
(1) 自然数nで、$\small\sf{\begin{align*}\sf n^2-1\end{align*}}$ が素数になるものをすべて求めよ。
(2) 0≦n≦mを満たす整数m，nの組(m，n)で、$\small\sf{3m^2+mn-2n^2}$ が素数になるものを
すべて求めよ。
(3) 0以上の整数m，nの組(m，n)で、$\small\sf{m^4-3m^2n^2-4n^4-6m^2-16n^2-16}$ が素数に
なるものをすべて求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A=n^2-1=(n-1)(n+1) \end{align*}}$
が素数であるとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n+1\lt 1 \end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n-1=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{n=2} \end{align*}}$
このとき確かに
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A=2^2-1=3 \end{align*}}$
は素数となる。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf B&=\sf 3m^2+mn-2n^2 \\ &=\sf (3m-2n)(m+n) \end{align*}}$
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m+n=1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq n\leqq m\end{align*}}$ より、$\scriptsize\sf{(m,\ n)=(1,\ 0)}$
このとき、$\scriptsize\sf{B=3}$ となりこれは素数である。
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3m-2n=1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq n\leqq m\end{align*}}$ より、
$\scriptsize\sf{1=3m-2n\geqq 3n-2n=n\geqq 0}$
・$\scriptsize\sf{n=1}$ のときは、$\scriptsize\sf{m=1}$ となり、$\scriptsize\sf{B=2}$ は素数
・$\scriptsize\sf{n=0}$ のときは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m=\frac{1}{3}\end{align*}}$ となり不適
以上より、Bが素数となるのは
$\scriptsize\sf{\underline{(m,\ n)=(1,\ 0)\ ,\ \ (1,\ 1)}}$
のときである。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C&=\sf m^4+-3m^2n^2-4n^4-6m^2-16n^2-16 \\ &=\sf m^4-3(n^2+2)-4(n^2+2)^2\\ &=\sf (m^2+n^2+2)(m^2-4n^2-8)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m^2+n^2+2\geqq 2\end{align*}}$ より、
$\scriptsize\sf{m^2-4n^2-8=1\ \ \Leftrightarrow\ \ (m-2n)(m+2n)=9}$
$\scriptsize\sf{m-2n\leqq m+2n}$ かつ$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m+2n\geqq 0\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (m-2n\ ,\ m+2n)=(1,\ 9)\ ,\ (3,\ 3)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ (m\ ,\ n)=(5,\ 2)\ ,\ (3,\ 0)}$
$\scriptsize\sf{(m, n)=(5,\ 2)}$ のときは、$\scriptsize\sf{C=31}$
$\scriptsize\sf{(m, n)=(3,\ 3)}$ のときは、$\scriptsize\sf{C=11}$
となり、ともに素数なので、
$\scriptsize\sf{\underline{(m,\ n)=(5,\ 2)\ ,\ \ (3,\ 3)}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/05/21(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2019（文系）
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