青木ゼミ青木2019大阪府立大　文系数学2

2019大阪府立大　文系数学2

第2問

　　四面体OABCにおいて、辺OAの中点をD、辺ACの中点をEとし、線分OEと線分CDの
　　交点をFとする。三角形OBC上の点Pに対して、線分APと三角形OBEとの交点を$\small\sf{Q}$ とする。
　　$\small\sf{\overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf OE}=\overrightarrow{\sf e}}$ とおくとき、以下の問いに答えよ。

　(1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ および$\small\sf{\overrightarrow{\sf OF}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf e}}$ の式で表せ。

　(2) 点Pが三角形OBCの重心であるとき、$\small\sf{AP:AQ}$ を答えよ。

　(3) 点Pが$\small\sf{AP:AQ=3:2}$ を満たしながら三角形OBCの内部（境界を含む）を動く。
　　　 $\small\sf{\overrightarrow{\sf OQ}=x\overrightarrow{\sf b}+y\overrightarrow{\sf e}}$ とおくとき、点$\small\sf{\left(x,\ y\right)}$ が動く範囲を座標平面上に図示せよ。
　
　　　　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(1)
　　　　EはACの中点なので、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OE}=\frac{\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OC}=2\overrightarrow{\sf OE}-\overrightarrow{\sf OA}=\underline{2\overrightarrow{\sf e}-\overrightarrow{\sf a}}\end{align*}}$
　　　　Fは△OACの重心なので、線分OEを2:1に内分する。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf OE}=\underline{\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf e}} \end{align*}}$

　(2)
　　　　OBの中点をMとすると、△OBCの重心である点Pは線分CMを2:1に内分する。
　　　　線分AP、EMはともに平面ACM上にあるので、$\scriptsize\sf{Q}$ はこれらの交点となる。
　　　　よって、メネラウスの定理より、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{QP}{AQ}\cdot\frac{MC}{PM}\cdot\frac{EA}{CE}=\frac{QP}{AQ}\cdot\frac{3}{1}\cdot\frac{1}{2}=1 \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ AQ=3QP \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ AP:AQ=\underline{4:3}\end{align*}}$

　(3)
　　　　点Pは△OBCの周上および内部を動く点なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s\geqq 0\ ,\ \ t\geqq 0\ ,\ \ s+t\leqq 1 \end{align*}}$　　　……(*)
　　　　を満たす実数s、tを用いて
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\overrightarrow{\sf OP} &=\sf s\overrightarrow{\sf OB}+t\overrightarrow{\sf OC} \\ &=\sf s\overrightarrow{\sf b}+t(2\overrightarrow{\sf e}-\overrightarrow{\sf a})\end{align*}}$
　　　　と表すことができる。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AP}&=\sf \overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OA} \\ &=\sf s\overrightarrow{\sf b}+t(2\overrightarrow{\sf e}-\overrightarrow{\sf a})-\overrightarrow{\sf a}\\ &=\sf (-t-1)\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}+2t\overrightarrow{\sf e} \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AQ}&=\sf \overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OA} \\ &=\sf -\overrightarrow{\sf a}+x\overrightarrow{\sf b}+y\overrightarrow{\sf e}\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf AP:AQ=3:2\\\ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf 3\overrightarrow{\sf AQ}=2\overrightarrow{\sf AP} \\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf 3\left(-\overrightarrow{\sf a}+x\overrightarrow{\sf b}+y\overrightarrow{\sf e}\right)=2\left\{(-t-1)\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}+2t\overrightarrow{\sf e}\right\}\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf (-2t+1)\overrightarrow{\sf a}+(2s-3x)\overrightarrow{\sf b}+(4t-3y)\overrightarrow{\sf e}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf e}\end{align*}}$ は一次独立なので、係数を比較すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -2t+1=2s-3x=4t-3y=0\end{align*}}$
　　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s=\frac{3}{2}x\ ,\ \ t=\frac{1}{2}\ ,\ \ y=\frac{2}{3}\end{align*}}$
　　　　(*)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3}{2}x\geqq 0\ ,\ \ \frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq x\leqq \frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　　なので、点(x，y)が動く範囲は下図のようになる。
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　

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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2019/05/20(月) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の公立大学　.大阪府立大　前期　2019（文系）

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