第2問
0でない複素数zに対して
$\small\sf{\begin{align*}\sf w=z+\frac{1}{z}\end{align*}}$
とおく。 i を虚数単位とし、zの極形式を$\small\sf{z=r(\cos\theta+i\sin\theta)}$ とする。また、wの実部を
u、wの虚部をvとする。次の問いに答えよ。
(1) u、vをそれぞれrと$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(2) 点zが条件$\small\sf{|z+1|=|z-i|\ \ (0\lt\theta\lt\pi)}$ を満たして複素数平面上を動くとき、uとvが
満たす関係式を求め、点wが描く図形を複素数平面上に図示せよ。また、$\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{r\rightarrow\infty}u\end{align*}}$ と
$\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{r\rightarrow 0}v\end{align*}}$ を求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w&=\sf r(\cos\theta+i\sin\theta)+\frac{1}{r(\cos\theta+i\sin\theta)} \\ &=\sf r(\cos\theta+i\sin\theta)+\frac{1}{r}(\cos\theta-i\sin\theta)\\ &=\sf \left(r+\frac{1}{r}\right)\cos\theta+i\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin\theta\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{u=\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos\theta\ ,\ \ \ v=\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin\theta}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |z+1|=|z-i|\end{align*}}$ より、zは2点$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -1\ ,\ i\end{align*}}$ の垂直二等分線上にあり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt \theta\lt\pi\end{align*}}$ なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta=\frac{3}{4}\pi\end{align*}}$ である。
よって、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf u=-\frac{1}{\sqrt2}\left(r+\frac{1}{r}\right)\ ,\ \ \ v=\frac{1}{\sqrt2}\left(r-\frac{1}{r}\right)\end{align*}}$ ………(*)
これらの和と差を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf u+v=-\frac{\sqrt2}{r}\ (\lt 0) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf u-v=-\sqrt2\ r\ (\lt 0) \end{align*}}$
2式をかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf u^2-v^2=2\end{align*}}$
となるので、wは複素数平面上の双曲線$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2-y^2=2\end{align*}}$ の$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x+y\lt 0\ ,\ \ x-y\lt 0 \end{align*}}$
の部分を動く。これを図示すると下図のようになる。
また、(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{r\rightarrow\infty}u=-\frac{1}{\sqrt2}\lim_{r\rightarrow\infty}\left(r+\frac{1}{r}\right)=\underline{-\infty} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{r\rightarrow +0}v=\frac{1}{\sqrt2}\lim_{r\rightarrow\infty}\left(r-\frac{1}{r}\right)=\underline{-\infty} \end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/05/16(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2019
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