第3問
kは実数とする。Oを原点とする座標空間内に3点
$\small\sf{\begin{align*}\sf A(1,\ 1,\ -1)\ ,\ \ B(4k,\ -2k+2,\ -k+1)\ ,\ \ C(4k+4,\ -2k,\ -k)\end{align*}}$
をとり、四面体OABCを考える。次の問いに答えよ。
(1) 大きさが1のベクトル$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ で、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ の両方に垂直であるものをすべて求めよ。
(2) $\small\sf{0\lt s\lt 1\ ,\ \ 0\lt t\lt 1}$ とし、辺OAを$\small\sf{s:(1-s)}$ に内分する点をP、辺BCを$\small\sf{t:(1-t)}$ に
内分する点を$\small\sf{Q}$ とする。$\small\sf{\overrightarrow{\sf PQ}}$ をk、s、tを用いて表せ。
(3) Pと$\small\sf{Q}$ は(2)の内分点とする。$\small\sf{\overrightarrow{\sf PQ}}$ が$\small\sf{\overrightarrow{\sf OA}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf BC}}$ の両方に垂直であるとき、Pと$\small\sf{Q}$ の
座標を求めよ。また、そのようなPと$\small\sf{Q}$ が存在するためのkの条件を求めよ。
(4) kは(3)で求めた範囲にあるものとする。(3)のP、$\small\sf{Q}$ と線分$\small\sf{PQ}$ 上の点Xに対し
△XOAと△XBCの面積が一致するとき、その面積を求めよ。
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【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OA}=(1,\ 1,\ -1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf BC}=(4k+4,\ -2k,\ -k)-(4k,\ -2k+2,\ -k+1)=(4,\ -2,\ -1)\end{align*}}$
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf n}=(x,\ y,\ z)\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf n}\right|^2=x^2+y^2+z^2=1\ \ \ \cdots\cdots\cdots (i)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf n}\bot\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf n}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=x+y-z=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf n}\bot\overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf n}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=4x-2y-z=0\end{align*}}$
これら2式を連立させてy、zについて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=x\ ,\ \ z=2x \end{align*}}$
(ⅰ)に代入すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2+x^2+(2x)^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm\frac{1}{\sqrt6}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\overrightarrow{\sf n}=\pm\frac{1}{\sqrt6}\left(1,\ 1,\ 2\right)}\end{align*}}$
(2)
Pは辺OAを$\small\sf{s:(1-s)}$ に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\overrightarrow{\sf OP}=s\overrightarrow{\sf OA}=(s,\ s,\ -s)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\end{align*}}$は辺BCを$\small\sf{t:(1-t)}$ に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OQ}&=\sf (1-t)\overrightarrow{\sf OB}+t\overrightarrow{\sf OC} \\ &=\sf (1-t)(4k,\ -2k+2,\ -k+1)+t(4k+4,\ -2k,\ -k)\\ &=\sf (4t+4k,\ -2t-2k+2,\ -t-k+1)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PQ}&=\sf \overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OP} \\ &=\sf(4t+4k,\ -2t-2k+2,\ -t-k+1) -(s,\ s,\ -s)\\ &=\sf \underline{(-s+4t+4k,\ -s-2t-2k+2,\ s-t-k+1)}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PQ}//\overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ より、実数uを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PQ}=u\overrightarrow{\sf n}\ \ \Leftrightarrow\ \ (-s+4t+4k,\ -s-2t-2k+2,\ s-t-k+1)=u(1,\ 1,\ 2)\end{align*}}$
と表すことができる。
成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -s+4t+4k=-s-2t-2k+2=\frac{s-t-k+1}{2}\ (=u) \end{align*}}$
となり、これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s=\frac{2}{3}\ ,\ \ t=-k+\frac{1}{3} \end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{P\left(\frac{2}{3}\ ,\ \frac{2}{3}\ ,\ -\frac{2}{3}\right)\ ,\ \ Q\left(\frac{4}{3}\ ,\ \frac{4}{3}\ ,\ \frac{2}{3}\right)}\end{align*}}$
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt t\lt 1\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt -k+\frac{1}{3}\lt 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{-\frac{2}{3}\lt k\lt\frac{1}{3}} \end{align*}}$
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OA=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BC=\sqrt{4^2+(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{21}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf XP+XQ=PQ=\sqrt{\left(\frac{4}{3}-\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{4}{3}-\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\right)^2}=\frac{2}{3}\sqrt6 \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf \triangle XOA=\triangle XBC\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf \frac{1}{2}\cdot\sqrt3 \cdot XP=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{21}\cdot XQ \\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf XP=\sqrt7\ XQ\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf XP=\frac{\sqrt7}{\sqrt7+1}PQ=\frac{\sqrt6}{9}\left(7-\sqrt7\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle XOA=\frac{1}{2}\cdot\sqrt3\cdot\frac{\sqrt6}{9}\left(7-\sqrt7\right)=\underline{\frac{\sqrt2}{6}\left(7-\sqrt7\right)} \end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/05/17(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2019
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