第4問
aは実数とする。$\small\sf{y=x^3-2x^2+x}$ が定める曲線Cと$\small\sf{y=ax}$ が定める直線Lを考える。
次の問いに答えよ。
(1) 曲線Cと直線Lが異なる3点で交わるためのaの条件を求めよ。
(2) 曲線Cと直線Lが異なる3点で交わるとき、それらのx座標を$\small\sf{0,\ \alpha,\ \beta}$ として、
$\small\sf{0\lt\alpha\lt\beta}$ が成り立っているとする。$\small\sf{\alpha\leqq x\leqq\beta}$ の範囲で曲線Cと直線Lで囲まれた
部分の面積Sをaを用いて表せ。
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【解答】
(1)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^3-2x^2+x=ax\ \ \Leftrightarrow\ \ x(x^2-2x+1-a)=0 \end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=x^2-2x+1-a\end{align*}}$ とおくと、曲線Cと直線Lが異なる3点で交わるとき、
方程式$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=0\end{align*}}$ は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x\ne 0\end{align*}}$ である異なる2つの実数解をもつので、
判別式 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4=1-(1-a)\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt a\ \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(0)=1-a\ne 0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\ne 1 \end{align*}}$
よって、求めるaの条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{0\lt a\lt 1\ ,\ \ 1\lt a}\end{align*}}$
(2)
CとLの位置関係は図のようになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_{\alpha}^{\beta} \big\{ax-(x^3-2x^2+x)\big\}dx\\ &=\sf -\int_{\alpha}^{\beta} x(x-\alpha)(x-\beta)dx \\ &=\sf -\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha+\alpha)(x-\alpha)(x-\alpha+\alpha-\beta)dx\\ &=\sf -\int_{\alpha}^{\beta}\big\{(x-\alpha)^3+(2\alpha-\beta)(x-\alpha)^2-\alpha(\beta-\alpha)(x-\alpha)\big\}dx \\ &=\sf -\left[\frac{1}{4}(x-\alpha)^4+\frac{2\alpha-\beta}{3}(x-\alpha)^3-\frac{\alpha(\beta-\alpha)}{2}(x-\alpha)^2\right]_{\alpha}^{\beta}\\ &=\sf -\frac{1}{4}(\beta-\alpha)^4-\frac{2\alpha-\beta}{3}(\beta-\alpha)^3+\frac{\alpha}{2}(\beta-\alpha)^3\\ &=\sf \frac{1}{12}(\beta-\alpha)^3(\alpha+\beta)\end{align*}}$
ここで解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha+\beta=2\ ,\ \ \alpha\beta=1-a \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta-\alpha&=\sf\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta} \\ &=\sf \sqrt{4-4(1-a)}\\ &=\sf 2\sqrt{a}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\frac{1}{12}\cdot \left(2\sqrt{a}\right)^3\cdot 2=\underline{\frac{4}{3}a\sqrt{a}} \end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/05/14(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2019
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