2010大阪府立大 工学部 数学１(３)

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(3)
　　　まず、与式の分子・分母をｎ^aで割ると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{(1+\frac{1}{n})^a+(1+\frac{2}{n})^a+\ldots+(1+\frac{n}{n})^a}{\left(\frac{1}{n}\right)^a+\left(\frac{2}{n}\right)^a+\ldots+\left(\frac{n}{n}\right)^a}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{\sum_{k=1}^n\ (1+\frac{k}{n})^a}{\sum_{k=1}^n\ \left(\frac{k}{n}\right)^a}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\ \sum_{k=1}^n\ (1+\frac{k}{n})^a}{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\ \sum_{k=1}^n\ \left(\frac{k}{n}\right)^a}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\int_0^1\ (1+x)^a \ dx}{\int_0^1\ x^a\ dx}\end{align*}}$
　　　ここで、
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\ (1+x)^a \ dx=\left[\frac{1}{a+1}(1+x)^{a+1}\right]_0^1=\frac{2^{a+1}-1}{a+1}\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\ x^a\ dx=\left[\frac{1}{a+1}\ x^{a+1}\right]_0^1=\frac{1}{a+1}\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{\frac{2^{a+1}-1}{a+1}}{\frac{1}{a+1}}=\underline{\ 2^{a+1}-1\ \ }\end{align*}}$
　
　
　　いわゆる区分求積法ってヤツです。教科書に載ってますよね。