第2問
放物線$\small\sf{\begin{align*}\sf C:\ y=x^2\end{align*}}$ 上に2点$\small\sf{\begin{align*}\sf A(a,\ a^2)\ ,\ B(b,\ b^2)\ \ \ (-b\lt a\lt 0\lt b)\end{align*}}$ をとる。点A、Bに
おける放物線Cの接線をそれぞれL、mとしLとmの交点をPとする。また、直線ABと
x軸のなす角を$\small\sf{\begin{align*}\sf \alpha\end{align*}}$ 、接線mとx軸のなす角を$\small\sf{\begin{align*}\sf\beta \end{align*}}$ とする。
ただし、$\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}\ ,\ \ 0\lt\beta\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。次の問いに答えよ。
(1) 直線ABと接線mの方程式をa、bを用いて表せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \beta=\alpha+\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ のとき、aをbを用いて表せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*}\sf \beta=\alpha+\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ かつ$\small\sf{\begin{align*}\sf\angle BAP=\frac{\pi}{2} \end{align*}}$ のとき、a，bの値を求めよ。
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【解答】
(1)
直線AB
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y-a^2=\frac{b^2-a^2}{b-a}(x-a)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{y=(a+b)x-ab} \end{align*}}$
接線mについては、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x^2\right)'=2x\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y-b^2=2b(x-b)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{y=2bx-b^2}\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan\alpha=a+b\ ,\ \ \tan\beta=2b\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf \tan\beta=\tan\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan\alpha+\tan\frac{\pi}{4}}{1-\tan\alpha\tan\frac{\pi}{4}}\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf 2b=\frac{a+b+1}{1-(a+b)} \\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf 2b-2ab-2b^2=a+b+1\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf \underline{a=\frac{-2b^2+b-1}{2b+1}}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x^2\right)'=2x\end{align*}}$ より、接線Lの傾きは$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2a\end{align*}}$ であり、L⊥ABなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf 2a(a+b)=-1\\\ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf \frac{2(-2b^2+b-1)}{2b+1}\left(\frac{-2b^2+b-1}{2b+1}+b\right)=-1 \\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf 2(-2b^2+b-1)(2b-1)=-(2b+1)^2\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf 8b^3-12b^2+2b-3=0\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf (2b-3)(4b^2+1)=0\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf \underline{b=\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=\frac{-\frac{9}{2}+\frac{3}{2}-1}{3+1}=\underline{-1}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/05/12(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2019
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