第2問
$\small\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf AB}|=2 \end{align*}}$ をみたす△PABを考え、辺ABの中点をM、△PABの重心をGとする。
以下の問に答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf PM}|^2 \end{align*}}$ を内積$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PA}\cdot\overrightarrow{\sf PB}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \angle AGB=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PA}\cdot\overrightarrow{\sf PB}\end{align*}}$ の値を求めよ。
(3) 点Aと点Bを固定し、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PA}\cdot\overrightarrow{\sf PB}=\frac{5}{4}\end{align*}}$ をみたすように点Pを動かすとき、∠ABGの
最大値を求めよ。ただし、$\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt \angle ABG\lt \pi\end{align*}}$ とする。
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【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf PB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
とおくと、題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf AB}|^2&=\sf |\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}|^2 \\ &=\sf |\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2-2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=4\\ &=\sf \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2=2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+4\ \ \ \cdots\cdots\cdots (*)\end{align*}}$
(1)
点Mは辺ABの中点なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf AM}|^2&=\sf\left|\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{2}\right|^2 \\ &=\sf \frac{1}{4}\left(|\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2+2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\right)\\ &=\sf \frac{1}{4}\left\{\left(2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+4\right)+2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\right\}\ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)\\ &=\sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+1\\ &=\sf\underline{\overrightarrow{\sf PA}\cdot\overrightarrow{\sf PB}+1}\end{align*}}$
(2)
点Gは線分PMを2:1の比に内分するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf PM}=\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{3} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf GA}\bot\overrightarrow{\sf GB}\end{align*}}$ なので、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf GA}\cdot\overrightarrow{\sf GB}&=\sf \left(\overrightarrow{\sf a}-\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{3}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf b}-\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{3}\right) \\ &=\sf \frac{1}{9}\left(2\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}\right)\cdot\left(-\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -2\left(|\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2\right)+5\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -2\left(2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+4\right)+5\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf PA}\cdot\overrightarrow{\sf PB}=\underline{8}\end{align*}}$
(3)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf PM}|=\sqrt{\frac{5}{4}+1}=\frac{3}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf PG}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{\sf PM}|=\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BG=x\end{align*}}$ とおいて、△BMGに余弦定理を用いると、
相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\angle MBG&=\sf\frac{-\left(\frac{1}{2}\right)^2+1^2+x^2}{2\cdot 1\cdot x} \\ &=\sf \frac{3}{8x}+\frac{x}{2}\\ &\geqq\sf 2\sqrt{\frac{3}{8x}\cdot\frac{x}{2}}\\ &=\sf \frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\angle ABG\end{align*}}$ の最小値は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\sqrt3}{2} \end{align*}}$ である。
このとき、∠ABGは最大となり、その大きさは $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\frac{\pi}{6}}\end{align*}}$ である。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/05/07(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2019
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