第5問
媒介変数表示
$\small\sf{\begin{align*}\sf x=\sin t\ ,\ \ y=(1+\cos t)\sin t\ \ \ (0\leqq t\leqq \pi)\end{align*}}$
で表される曲線をCとする。以下の問に答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{dx}\end{align*}}$ および$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{d^2y}{dx^2}\end{align*}}$ をtの関数として表せ。
(2) Cの凹凸を調べ、Cの概形を描け。
(3) Cで囲まれる領域の面積Sを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{dx}{dt}=\cos t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{dt}&=\sf (-\sin t)\sin t+(1+\cos t)\cos t \\ &=\sf 2\cos^2t+\cos t-1\ \ \ \ \ \ \left(\because\ \sin^2t+\cos^2t=1\right)\\ &=\sf (2\cos t-1)(\cos t+1)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{dx}&=\sf\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx} \\ &=\sf \underline{\frac{2\cos^2t+\cos t-1}{\cos t}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{d^2y}{dx^2}&=\sf\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\cdot\frac{dt}{dx} \\ &=\sf \frac{\big\{4\cos t\cdot (-\sin t)-\sin t\big\}\cos t-(2\cos^2t+\cos t-1)\cdot (-\sin t)}{\cos^2t}\cdot\frac{1}{\cos t}\\ &=\sf\underline{-\frac{\sin t(2\cos^2t+1)}{\cos^3t}} \end{align*}}$
(2)
(3)
Cの$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq t\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ に対応する部分を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=f_1(x)\end{align*}}$ 、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}\leqq t\leqq\pi\end{align*}}$ に対応する部分を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=f_2(x)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf\int_0^1f_1(x)dx-\int_0^1f_2(x)dx \\ &=\sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos t\right)\sin t\cdot \cos tdt-\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos t\right)\sin t\cdot \cos tdt\\ &=\sf \int_0^{\pi}\left(1+\cos t\right)\sin t\cos tdt\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s=\cos t\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dt}{ds}=-\sin t\end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t:\ 0\rightarrow \pi\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s:\ 1\rightarrow -1\end{align*}}$ と対応するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_1^{-1}(s+s^2)\cdot (-ds) \\ &=\sf 2\int_0^1s^2ds\\ &=\sf 2\left[\frac{1}{3}s^3\right]_0^1\\ &=\sf \underline{\frac{2}{3}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/05/10(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2019
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
