第1問
a、b、cを実数とし、a≠0とする。2次関数f(x)を
$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=ax^2+bx+c\end{align*}}$
で定める。曲線y=f(x)は点$\small\sf{\begin{align*}\sf\left(2\ ,\ 2-\frac{c}{2}\right)\end{align*}}$ を通り、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^3f(x)\ dx=\frac{9}{2}\end{align*}}$
をみたすとする。以下の問に答えよ。
(1) 関数f(x)をaを用いて表せ。
(2) 点(1，f(1))における曲線y=f(x)の接線をLとする。直線Lの方程式を
aを用いて表せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a\lt\frac{1}{2}\end{align*}}$ とする。(2)で求めた直線Lのy≧0の部分と曲線y=f(x)のx≧0
の部分およびx軸で囲まれた図形の面積Sの最大値と、そのときのaの値を求めよ。
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【解答】
(1)
与えられた条件より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(2)=4a+2b+c=2-\frac{c}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ 8a+4b+3c=4 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^3f(x)\ dx&=\sf \int_{0}^3\left(ax^2+bx+c\right)dx \\ &=\sf\left[\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2+cx\right]_0^3 \\ &=\sf 9a+\frac{9}{2}b+3c=\frac{9}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 6a+3b+2c=3 \end{align*}}$
これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=-2a+1\ ,\ \ c=0\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\underline{ax^2-\left(2a-1\right)x}\end{align*}}$
(2)
（１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=2ax^2-2a+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(1)=2a-2a+1=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(1)=a-(2a-1)=-a+1\end{align*}}$
なので、点(1，f(1))における接線Lの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L:\ y-(-a+1)=1\cdot (x-1)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{y=x-a}\end{align*}}$
(3)
y=f(x)のx切片は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=ax^2-(2a-1)x=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ ,\ \frac{2a-1}{a}\end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a\lt\frac{1}{2}\end{align*}}$ なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2a-1}{a}\lt 0\end{align*}}$ である。
また、Lのx切片は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0=x-a\ \ \Leftrightarrow\ \ x=a\end{align*}}$
なので、y=f(x)とLの位置関係は下図のようになる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf\int_0^1\big\{ax^2-\left(2a-1\right)x\big\}dx-\frac{1}{2}(1-a)^2 \\ &=\sf \left[\frac{a}{3}x^3-\frac{2a-1}{2}x^2\right]_0^1-\frac{1}{2}(1-a)^2\\ &=\sf -\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{3}a\\ &=\sf -\frac{1}{2}\left(a-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{1}{18}\end{align*}}$
となるので、Sは$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{a=\frac{1}{3}}\end{align*}}$ のとき最大値$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\underline{\frac{1}{18}}\end{align*}}$ をとる。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/05/03(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 文系 2019
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