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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019北海道大 理系数学5



第5問

  f(x)を区間$\small\sf{[0\ ,\ \pi]}$ で連続な関数とする。関数$\small\sf{f_1(x)\ ,\ f_2(x)\ ,\ \cdots}$ を関係式
      $\small\sf{f_1(x)=f(x)}$
      $\small\sf{\begin{align*}\sf f_{n+1}(x)=2\cos x+\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f_n(t)\sin\left(x-t\right)dt\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)\end{align*}}$
  により定める。さらに、自然数nに対して
      $\small\sf{\begin{align*}\sf a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f_n(t)\sin tdt\ ,\ \ bn=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f_n(t)\cos tdt\end{align*}}$
  とおく。

 (1) $\small\sf{a_{n+1}\ ,\ b_{n+1}}$ を$\small\sf{a_n\ ,\ b_n}$ を用いて表せ。

 (2) $\small\sf{v_n=a_n-1}$ とおく。このとき、$\small\sf{c_{n+2}=-c_n}$ が成立することを示し、一般項$\small\sf{c_n}$ を
    $\small\sf{a_1}$ と$\small\sf{b_1}$ を用いて表せ。

 (3) $\small\sf{a_n\ ,\ b_n}$ がnによらない定数となるようなf(x)を1つ求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2019/05/02(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2019
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