第3問
nを自然数とする。数列2，1，2，1，1 のように各項が1または2の有限数列
（項の個数が有限である数列）を考える。各項が1または2の有限数列のうち
すべての項の和がnとなるものの個数をsnとする。例えば、n=1のときは、1項から
なる数列1のみである。したがって、s1=1となる。n=2のときは、1項からなる数列
2と2項からなる数列1，1の2つである。したがって、s2=2となる。
(1) s3を求めよ。
(2) n≧3のとき、snをsn-1とsn-2を用いて表せ。
(3) 3以上のすべてのnに対して$\small\sf{s_n-\alpha s_{n-1}=\beta\left(s_{n-1}-\alpha s_{n-2}\right)}$ が成り立つような実数
$\small\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ の組$\small\sf{\left(\alpha\ ,\ \beta\right)}$ を1組求めよ。
(4) snを求めよ。
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【解答】
(1)
和が3になるような列は、
1，2
2，1
1，1，1
の3つなので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{s_3=3}\end{align*}}$
(2)
和がnになる列は次のようにして作ることができる。
・和がn-1である列の後ろに1をつけ加える
・和がn-2である列の後ろに2をつけ加える
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{s_n=s_{n-1}+s_{n-2}}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s_n-\alpha s_{n-1}=\beta\left(s_{n-1}-\alpha s_{n-2}\right)\end{align*}}$ ……(*)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s_n=\left(\alpha+\beta\right)s_{n-1}-\alpha\beta s_{n-2}\end{align*}}$
これと(2)の漸化式の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha+\beta=1\ ,\ \ \alpha\beta=-1\end{align*}}$
となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\ ,\ \beta\end{align*}}$ はtについての2次方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t^2-t-1=0\end{align*}}$
の2解となる。$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\gt\beta\end{align*}}$ とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\alpha=\frac{1+\sqrt5}{2}\ ,\ \ \beta=\frac{1-\sqrt5}{2}}\end{align*}}$
(4)
(*)より数列$\scriptsize\sf{\left\{s_n-\alpha s_{n-1}\right\}}$ は公比$\scriptsize\sf{\beta}$ の等比数列をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s_n-\alpha s_{n-1}&=\sf \left(s_2-\alpha\ s_1\right)\beta^{n-1} \\ &=\sf \left(2-\alpha\right)\beta^{n-1} \end{align*}}$
(*)と同様に、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s_n-\beta s_{n-1}=\alpha\left(s_{n-1}-\beta s_{n-2}\right)\end{align*}}$ も成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s_n-\beta s_{n-1}=\left(2-\beta\right)\alpha^{n-1} \end{align*}}$
これら2式の差をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\alpha-\beta\right)s_{n}=\left(2-\beta\right)\alpha^{n-1}+\left(2-\alpha\right)\beta^{n-1} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{1+\sqrt5}{2}-\frac{1-\sqrt5}{2}\right)s_{n}=\left(2-\frac{1-\sqrt5}{2}\right)\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n-1}+\left(2-\frac{1+\sqrt5}{2}\right)\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n-1} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s_n=\underline{\frac{1}{\sqrt5}\left\{\frac{3+\sqrt5}{2}\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n-1}+\frac{3-\sqrt5}{2}\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n-1}\right\}} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3+\sqrt5}{2}=\frac{6+2\sqrt5}{4}=\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^2\ ,\ \ \frac{3-\sqrt5}{2}=\frac{6-2\sqrt5}{4}=\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^2\end{align*}}$
に気づくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s_n=\underline{\frac{1}{\sqrt5}\left\{\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n+1}+\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n+1}\right\}} \end{align*}}$
と、さらに簡単な形にできます。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/04/26(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 文系 2019
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