2009大阪府立大 工学部 数学４

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【解答】

　(1)
　　　X₀=－3なので、X₁のは－2、－1、0のいずれかになる。
　　　　　(ⅰ)X₁=－2のとき
　　　　　　　　　　X₂は1、0、－1のいずれか
　　　　　(ⅱ)X₁=－1のとき
　　　　　　　　　　X₂は2、1、0のいずれか
　　　　　(ⅲ)X₁=0のとき
　　　　　　　　　　X₂=0
　　　以上のことから考えると、　　　　　　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_2=\frac{1}{9}\ \ ,\ \ b_2=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ c_2=\frac{2}{9}\ \ }\end{align*}}$


　(2)
　　　X_nの値によって、場合分けすると、
　　　　　(ア)X_n=2のとき
　　　　　　　　　　X_n+1は1、0、－1のいずれか
　　　　　(イ)X_n=－2のとき
　　　　　　　　　　X_n+1は－1、0、1のいずれか
　　　　　(ウ)X_n=1のとき
　　　　　　　　　　X_n+1は0、－1、－2のいずれか
　　　　　(エ)X_n=－1のとき
　　　　　　　　　　X_n+1は0、1、2のいずれか
　　　　　(オ)X_n=0のとき
　　　　　　　　　　X_n+1=0
　　　よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{1}{3}\ b_n\ \ ,\ \ b_{n+1}=\frac{2}{3}\ a_n+\frac{1}{3}\ b_n\end{align*}}$
　　　これは行列を用いて
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{a_{n+1}}{b_{n+1}}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1 \\ \sf 2 & \sf 1 \end{pmatrix}\binom{a_{n}}{b_{n}}\end{align*}}$
　　　と表すことができるので、求める行列Qは
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ Q=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1 \\ \sf 2 & \sf 1 \end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$


　(3)
　　　行列Pのデターミナントを求めると、
　　　　　　ΔP=－1－2≠0
　　　なので、逆行列P^-1が存在し、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf 2 & \sf -1 \end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P^{-1}QP=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf 2 & \sf -1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1 \\ \sf 2 & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf 2 & \sf -1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　これを頑張って計算すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P^{-1}QP=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf 2&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$　････①

　(4)
　　　①の両辺をｎ乗すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (P^{-1}QP)^n=\left\{\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf 2&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\right\}^n\end{align*}}$
　　　左辺は、
　　　　　　(P^-1QP)ⁿ=P^-1QPP^-1QP････P^-1QP
　　　　　　　　　　　　 =P^-1QEQE････EQP
　　　　　　　　　　　　 =P^-1QⁿP　　
　　　一方、①の右辺は対角行列なので、ｎ乗すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf 2&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\right)^n=\frac{1}{3^n}\begin{pmatrix} \sf 2^n&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf \left(-1\right)^n \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　となる。よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P^{-1}Q^{n\ }P=\frac{1}{3^n}\begin{pmatrix} \sf 2^n&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf \left(-1\right)^n \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　が得られ、この式の両辺に、左からP、右からP^-1をかけると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\ P^{-1}Q^{n\ }P\ P^{-1}=P\ \frac{1}{3^n}\begin{pmatrix} \sf 2^n&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf \left(-1\right)^n \end{pmatrix}\ P^{-1}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ Q^{n\ }=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf 2 & \sf -1 \end{pmatrix}\cdot\ \frac{1}{3^n}\begin{pmatrix} \sf 2^n&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf \left(-1\right)^n \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf 2 & \sf -1 \end{pmatrix} \end{align*}}$
　　　これをかなり頑張って計算すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ Q^{n}=\frac{1}{3^{n+1}}\begin{pmatrix} \sf 2^n+2\cdot(-1)^n&\sf 2^n+(-1)^{n+1} \\ \sf 2^{n+1}+2\cdot(-1)^{n+1} & \sf 2^{n+1}+(-1)^n \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$


　(5)
　　　(2)より、任意のｎに対して、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{a_{n+1}}{b_{n+1}}=Q\ \binom{a_{n}}{b_{n}}\end{align*}}$
　　　が成り立つので、順次代入していくと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{a_{n}}{b_{n}}=Q\ \binom{a_{n-1}}{b_{n-1}}=Q^2\ \binom{a_{n-2}}{b_{n-2}}=Q^3\ \binom{a_{n-3}}{b_{n-3}}=\ldots\ldots=Q^{n-1}\ \binom{a_{1}}{b_{1}}\end{align*}}$
　　　が得られる。ここで(1)より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{1}=b_{1}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　なので、これと(4)の結果を代入すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{a_{n}}{b_{n}}=\frac{1}{3^{n}}\begin{pmatrix} \sf 2^n+2\cdot(-1)^n&\sf 2^n+(-1)^{n+1} \\ \sf 2^{n+1}+2\cdot(-1)^{n+1} & \sf 2^{n+1}+(-1)^n \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{3} \binom{1}{1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3^{n+1}}\binom{2^{n}-(-1)^{n}}{2^{n+1}+(-1)^{n}}\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_n=\frac{1}{3^{n+1}}\left(2^{n}-(-1)^{n}\right)\ \ ,\ \ b_n=\frac{1}{3^{n+1}}\left(2^{n+1}+(-1)^{n}\right)\ \ }\end{align*}}$


　　　一方、(2)の図から考えると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_{n+1}=\frac{1}{3}\ a_n+\frac{1}{3}\ b_n\end{align*}}$ ．
　　　これに、上で求めたa_nおよびb_nを代入して計算すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_{n+1}=\frac{2^n}{3^{n+1}}\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ c_{n}=\frac{2^{n-1}}{3^{n}}\ \ }\end{align*}}$



　　(2)が1つのヤマ場です。これを乗り越えると、あとは簡単。
　　誘導に乗ってそのまま計算するだけです！
　　ただし、計算がかなり面倒ですが･････