第5問
$\small\sf{\begin{align*}\sf a=\frac{2^8}{3^4}\end{align*}}$ として、数列
$\small\sf{\begin{align*}\sf b_k=\frac{(k+1)^{k+1}}{a^kk!}\ \ \ \left(k=1,2,3,\cdots\right)\end{align*}}$
を考える。
(1) 関数$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\left(x+1\right)\log\left(1+\frac{1}{x}\right)\end{align*}}$ はx＞0で減少することを示せ。
(2) 数列$\small\sf{\begin{align*}\sf \left\{b_k\right\}\end{align*}}$ の項の最大値Mを既約分数で表し、$\small\sf{\begin{align*}\sf b_k=M\end{align*}}$ となるkをすべて求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\left(x+1\right)\left\{\log (x+1)-\log x\right\}\end{align*}}$
と変形できるので、f(x)の第1次および第2次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)&=\sf \log(x+1)-\log x+(x+1)\cdot\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\right) \\ &=\sf\log(x+1)-\log x+1- \frac{x+1}{x}\\ &=\sf\log(x+1)-\log x- \frac{1}{x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f''(x)&=\sf \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} \\ &=\sf \frac{x^2-(x+1)x+(x+1)}{x^2(x+1)}\\ &=\sf \frac{1}{x^2(x+1)}\ \gt 0\ \ \ \left(\because\ x\gt 0\right)\end{align*}}$
これらより、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x) \end{align*}}$ は単調に増加し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow +\infty}f'(x)&=\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\log(x+1)-\log x- \frac{1}{x}\right\} \\ &=\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\log\left(1+\frac{1}{x}\right)- \frac{1}{x}\right\} \\ &=\sf \log 1\\ &=\sf 0\end{align*}}$
x＞0で常に$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)\lt 0 \end{align*}}$ となる。
よって、f(x)はx＞0で単調に減少する。
(2)
k≧2に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_k=\frac{(k+1)^{k+1}}{a^kk!}\ ,\ \ b_{k-1}=\frac{k^{k}}{a^{k-1}(k-1)!} \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{b_k}{b_{k-1}}&=\sf \frac{(k+1)^{k+1}}{a^kk!}\cdot\frac{a^{k-1}(k-1)!}{k^{k}} \\ &=\sf \frac{(k+1)^{k+1}}{ak^k\cdot k}\\ &=\sf \frac{1}{a}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k+1}\end{align*}}$
この値は正なので自然対数をとると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log \frac{b_k}{b_{k-1}}&=\sf\log\frac{1}{a}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k+1} \\ &=\sf (k+1)\log\left(1+\frac{1}{k}\right)-\log a\\ &=\sf f(k)-f(3)\ \ \ \left(\because\ \log a=\log\frac{2^8}{3^4}=log\left(\frac{4}{3}\right)^4=(3+1)\log\left(1+\frac{1}{3}\right)\right)\end{align*}}$
(1)よりf(x)はx＞0で減少するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k\lt 3&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \log \frac{b_k}{b_{k-1}}\gt 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{b_k}{b_{k-1}}\gt 1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf b_{k-1}\lt b_k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k\gt 3&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \log \frac{b_k}{b_{k-1}}\lt 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{b_k}{b_{k-1}}\lt 1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf b_{k-1}\gt b_k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k=3&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \log \frac{b_3}{b_{2}}=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{b_3}{b_{2}}=1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf b_{2}=b_3\end{align*}}$
まとめると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_1\lt b_2=b_3\gt b_4\gt b_5\gt \cdots\end{align*}}$
となるので、数列$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{b_k\right\}\end{align*}}$ の値は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{k=2\ ,\ 3}\end{align*}}$ のとき最大となり、その値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf M=b_2&=\sf \frac{3^3}{a^2\cdot 2!} \\ &=\sf \underline{\frac{3^{11}}{2^{17}}} \end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/06/07(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2019
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