第2問
次の等式が1≦x≦2で成り立つような関数f(x)と定数A、Bを求めよ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf\int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}\left|\log y\right|\ f\left(xy\right)dy=3x\left(\log x-1\right)+A+\frac{B}{x}\end{align*}}$
ただし、f(x)は1≦x≦2に対して定義される連続関数とする。
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【解答】
$\scriptsize\sf{xy=t}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dt}{dy}=x \end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y:\ \frac{1}{x}\rightarrow\frac{2}{x}\end{align*}}$ に対して$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t:\ 1\rightarrow 2 \end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}\left|\log y\right|\ f\left(xy\right)dy&=\sf \int_1^2\left|\log \frac{t}{x}\right|\ f\left(t\right)\cdot\frac{dt}{x} \\ &=\sf \frac{1}{x}\int_1^2\left|\log t-\log x\right|\ f\left(t\right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf e\gt 1 \end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{eqnarray}\sf \left|\log t-\log x\right|= \begin{cases}\sf -\left(\log t-\log x\right) & \sf (1\leqq t\leqq x ) \\ \sf \log t-\log x &\sf ( x\leqq t\leqq 2) \end{cases}\end{eqnarray}}$
なので、与式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3x\left(\log x-1\right)+A+\frac{B}{x}&=\sf -\frac{1}{x}\int_1^x\left(\log t-\log x\right)\ f\left(t\right)dt+\frac{1}{x}\int_x^2\left(\log t-\log x\right)\ f\left(t\right)dt \\ &=\sf -\frac{1}{x}\int_1^x\left(\log t\right)\ f\left(t\right)dt+\frac{\log x}{x}\int_1^x\ f\left(t\right)dt+\frac{1}{x}\int_x^2\left(\log t\right)\ f\left(t\right)dt-\frac{\log x}{x}\int_x^2\ f\left(t\right)dt\end{align*}}$
両辺にxをかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3x^2\left(\log x-1\right)+Ax+B=-\int_1^x\left(\log t\right)\ f\left(t\right)dt+\left(\log x\right)\int_1^x\ f\left(t\right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf +\int_x^2\left(\log t\right)\ f\left(t\right)dt-\left(\log x\right)\int_x^2\ f\left(t\right)dt\ \ \ \cdots\cdots\cdots (*)\end{align*}}$
両辺をxで微分すると、左辺は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 6x\left(\log x-1\right)+3x^2\cdot\frac{1}{x}+A=6x\log x-3x+A \end{align*}}$
右辺は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf -\left(\log x\right)\ f(x)+\frac{1}{x}\int_1^xf(t)dt+\left(\log x\right)\ f(x)-\frac{1}{x}\int_x^2f(t)dt+\left(\log x\right) f(x)-\left(\log x\right)\ f(x) \\ =&\sf \frac{1}{x}\int_1^xf(t)dt-\frac{1}{x}\int_x^2f(t)dt\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 6x\log x-3x+A=\frac{1}{x}\int_1^xf(t)dt-\frac{1}{x}\int_x^2f(t)dt\end{align*}}$
両辺にxをかけて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 6x^2\log x-3x^2+Ax=\int_1^xf(t)dt-\int_x^2f(t)dt\ \ \ \cdots\cdots\cdots (**)\end{align*}}$
両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 12x\log x+6x^2\cdot\frac{1}{x}-6x+A=f(x)+f(x) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ f(x)=6x\log x+\frac{A}{2}\ \ \ \cdots\cdots\cdots (***)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (**)\end{align*}}$ に$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=1\end{align*}}$ を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -3+A=-\int_1^2f(t)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (**)\end{align*}}$ に$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=2\end{align*}}$ を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 24\log 2-12+2A=\int_1^2f(t)dt\end{align*}}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{A=5-8\log 2}\ ,\ \ \int_1^2f(t)dt=-2+8\log 2\end{align*}}$
これと$\scriptsize\sf{(***)}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\underline{6x\log x+\frac{5}{2}-4\log 2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)\end{align*}}$ に$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=1\end{align*}}$ を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -3+A+B=\int_1^2\left(\log t\right)\ f\left(t\right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)\end{align*}}$ に$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=2\end{align*}}$ を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 12\left(\log 2-1\right)+2A+B=-\int_1^2\left(\log t\right)\ f\left(t\right)dt+\left(\log 2\right)\int_1^2\ f\left(t\right)dt\end{align*}}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf B&=\sf \frac{1}{2}\left(\log x\right)\int_1^2f(t)dt-6\left(\log 2-1\right)-\frac{3}{2}A-\frac{3}{2} \\ &=\sf \frac{1}{2}\left(\log x\right)\left(-2+8\log 2\right)-6\left(\log 2-1\right)-\frac{3}{2}\left(5-8\log 2\right)-\frac{3}{2}\\ &=\sf \underline{4\left(\log 2\right)^2+5\log 2}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/06/04(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2019
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