第3問
i を虚数単位とする。実部と虚部が共に整数であるような複素数zにより$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{z}{3+2i}\end{align*}}$ と
表される複素数全体の集合をMとする。
(1) 原点を中心とする半径rの円上またはその内部に含まれるMの要素の個数を
$\small\sf{N(r)}$ とする。このとき、集合$\small\sf{\left\{\ r\ |\ 10\leqq N(r)\lt 25\right)}$ を求めよ。
(2) 複素数平面の相異なる2点z、wを結ぶ線分をL(z，w)で表すとき、6つの線分
$\small\sf{\begin{align*}\sf L\left(0\ ,\ 1\right)\ ,\ \ L\left(1\ ,\ 1+\frac{i}{2}\right)\ ,\ \ L\left(1+\frac{i}{2}\ ,\ \frac{1+i}{2}\right)\ ,\ \ L\left(\frac{1+i}{2}\ ,\ \frac{1}{2}+i\right)\ ,\ \ L\left(\frac{1}{2}+i\ ,\ i\right)\ ,\ \ L\left(i\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
で囲まれる領域の内部または境界に含まれるMの要素の個数を求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left|\frac{z}{3+2i}\right|\leqq r\ \ \Leftrightarrow\ \ |z|\leqq |3+2i|\ r=\sqrt{13}\ r\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf N(r)\end{align*}}$ は、実部と虚部がともに整数であるような複素数（以下「ガウス整数」
と書く）のうちで、
原点を中心とする半径$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{13}\ r \end{align*}}$ の円上またはその内部に含まれるものの個数に等しい。
ガウス整数zを、$\scriptsize\sf{|z|}$ の値が小さいものから順に挙げていくと
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |z|=0\end{align*}}$ となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=0\end{align*}}$ の1個
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |z|=1\end{align*}}$ となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=\pm 1\ ,\ \pm i\end{align*}}$ の4個
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |z|=\sqrt2\end{align*}}$ となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=\pm 1\pm i\end{align*}}$ （複号任意）の4個
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |z|=2\end{align*}}$ となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=\pm 2\ ,\ \pm 2i\end{align*}}$ の4個
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |z|=\sqrt5\end{align*}}$ となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=\pm 1\pm 2i\ ,\ \ \pm 2\pm i\end{align*}}$ （複号任意）の8個
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |z|=2\sqrt2\end{align*}}$ となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=\pm 2\pm 2i\end{align*}}$ （複号任意）の4個
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 10\leqq N(r)\lt 25\end{align*}}$ となるようなrの値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\leqq\sqrt{13}\ r\lt 2\sqrt2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\frac{2}{13}\sqrt{13}\leqq r\lt\frac{2}{13}\sqrt{26}}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\cdot\left(3+2i\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\cdot\left(3+2i\right)=3+2i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1+\frac{i}{2}\right)\left(3+2i\right)=2+\frac{7}{2}i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1+i}{2}\cdot\left(3+2i\right)=\frac{1+5i}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{1}{2}+i\right)\left(3+2i\right)=-\frac{1}{2}+4i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf i\ \left(3+2i\right)=-2+3i\end{align*}}$
求めるMの要素の個数は、6つ線分
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L\left(0\ ,\ 3+2i\right)\ ,\ \ L\left(3+2i\ ,\ 2+\frac{7}{2}i\right)\ ,\ \ L\left(2+\frac{7}{2}i\ ,\ \frac{1+5i}{2}\right)\ ,\ \ \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L\left(\frac{1+5i}{2}\ ,\ -\frac{1}{2}+4i\right)\ ,\ \ L\left(-\frac{1}{2}+4i\ ,\ -2+3i\right)\ ,\ \ L\left(-2+3i\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
で囲まれる領域な内部または協会に含まれつガウス整数zの個数に等しいので、
下図より12個（青点）
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/06/05(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2019
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