第1問
(1) h＞0とする。座標平面上の点O(0，0)、点P(h，s)、点Q(h，t)に対して、
三角形OPQの面積をSとする。ただし、s＜tとする。三角形OPQの辺OP、OQ、
PQの長さをそれぞれp、q、rとするとき、不等式
p2+q2+r2≧$\small\sf{4\sqrt3}$ S
が成り立つことを示せ。また、等号が成立するときのs、tの値を求めよ。
(2) 四面体ABCDの表面積をT、辺BC、CA、ABの長さをそれぞれa、b、cとし、
辺AD、BD、CDの長さをそれぞれL、m、nとする。このとき、不等式
a2+b2+c2+L2+m2+n2≧$\small\sf{2\sqrt3}$ T
が成り立つことを示せ。また、等号が成立するのは四面体ABCDがどのような
四面体のときか答えよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\angle POQ=\theta}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\frac{1}{2}pq\sin\theta\end{align*}}$
また、余弦定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r^2=p^2+q^2-2pq\cos\theta\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf &\sf p^2+q^2+r^2-4\sqrt3\ S \\ =&\sf p^2+q^2+\left(p^2+q^2-2pq\cos\theta\right)-2\sqrt3\ pq\sin\theta\\ =&\sf 2p^2-2\left(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta\right)pq+2q^2\\ =&\sf 2p^2-4pq\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+2q^2\\ =&\sf 2\left\{p-q\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)\right\}^2+2q^2-2q^2\sin^2\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)\\ =&\sf 2\left\{p-q\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)\right\}^2+2q^2\cos^2\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)\\ \geqq&\sf 0\end{align*}}$
よって、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p^2+q^2+r^2\geqq 4\sqrt3\ S\end{align*}}$
が成り立つ。
また、等号が成立するのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p-q\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=q\cos\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=0 \end{align*}}$
すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p-q\sin\frac{\pi}{2}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ p=q\end{align*}}$
のときであり、このとき△OPQは正三角形となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=q=r=\frac{h}{\cos\frac{\pi}{6}}=\frac{2h}{\sqrt3}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\frac{r}{2}=\underline{\frac{h}{\sqrt3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s=-t==\underline{-\frac{h}{\sqrt3}}\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L^2+m^2+c^2\geqq 4\sqrt3\ \triangle ABD\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m^2+n^2+a^2\geqq 4\sqrt3\ \triangle BCD\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n^2+L^2+b^2\geqq 4\sqrt3\ \triangle CAD\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a^2+b^2+c^2\geqq 4\sqrt3\ \triangle ABC\end{align*}}$
これらを辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\left(a^2+b^2+c^2+L^2+m^2+n^2\right)\geqq 4\sqrt3\left(\triangle ABD+\triangle BCD+\triangle CAD+\triangle ABC\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2+b^2+c^2+L^2+m^2+n^2\geqq 2\sqrt3\ T\end{align*}}$
を得る。
(1)と同様に考えると、等号が成立するのは、
△ABD、△BCD、△CAD、△ABCがすべて正三角形のときであり、このとき四面体ABCDは
正四面体となる。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/06/03(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2019
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