第4問
原点をOとする座標平面上に、点(2，0)を中心とする半径2の円C1と、点(1，0)を
中心とする半径1の円C2がある。点Pを中心とする円C3はC1に内接し、かつC2に外接
する。ただし、Pはx軸上にないものとする。Pを通りx軸に垂直な直線とx軸の交点を$\small\sf{Q}$
とするとき、三角形$\small\sf{OPQ}$ の面積の最大値を求めよ。
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【解答】
円C1、C2の中心をそれぞれA、Bとし、
Pの座標を(X，Y)、円C3の半径をr (＞0)とする。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PA=\sqrt{(X-2)^2+Y^2}=2-r\end{align*}}$ より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf X^2-4X+Y^2=r^2-4r\ \ \ \ (r\leqq 2)\ \ \cdots\cdots (i)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PB=\sqrt{(X-1)^2+Y^2}=1+r\end{align*}}$ より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf X^2-2X+Y^2=r^2+2r\ \ \cdots\cdots (ii)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (i)-(ii)\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -2X=-6r\ \ \Leftrightarrow\ \ X=3r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (i)\end{align*}}$ に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 9r^2-12r+Y^2=r^2-4r\ \ \Leftrightarrow\ \ Y^2=-8r^2+8r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle OPQ\end{align*}}$ の面積をSとし、$\scriptsize\sf{T(r)=S^2}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T(r)&=\sf\left(\frac{1}{2}XY\right)^2 \\ &=\sf\frac{1}{4}\cdot\left(3r\right)^2\cdot\left(-8r^2+8r\right) \\ &=\sf -18(r^4-3r^3)\end{align*}}$
rで微分すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T'(r)&=\sf -18(4r^3-9r^2) \\ &=\sf -18r^2(4r-9) \end{align*}}$
これよりT(r)の増減は次のようになる
よって、Sの最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_{max}&=\sf \sqrt{T\left(\frac{9}{4}\right)} \\ &=\sf \sqrt{-18\left\{\left(\frac{9}{4}\right)^4-3\left(\frac{9}{4}\right)^3\right\}}\\ &=\sf \underline{\frac{9}{16}\sqrt6}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/04/22(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .一橋大 2019
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