第3問
$\small\sf{f(x)=x^3-3x+2}$ とする。また、$\small\sf{\alpha}$ は1より大きい実数とする。曲線$\small\sf{C:\ y=f(x)}$ 上の
点$\small\sf{P\left(\alpha\ ,\ f(\alpha)\right)}$ における接線とx軸の交点を$\small\sf{Q}$ とする。点$\small\sf{Q}$ を通るCの接線の中で
傾きが最小のものを$\small\sf{\ell}$ とする。
(1) $\small\sf{\ell}$ とCの接点のx座標を$\small\sf{\alpha}$ の式で表せ。
(2) $\small\sf{\alpha=2}$ とする。$\small\sf{\ell}$ とCで囲まれた部分の面積を求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=x^3-3x+2\ ,\ \ f'(x)=3x^2-3\end{align*}}$
なので、点PにおけるCの接線をmとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m:\ y-\left(\alpha^3-3\alpha+2\right)=\left(3\alpha^2-3\right)\left(x-\alpha\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\left(3\alpha^2-3\alpha\right)x-2\alpha^3+2\end{align*}}$
よって、点$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\end{align*}}$ のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0=\left(3\alpha^2-3\alpha\right)x-2\alpha^3+2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{2(\alpha^3-1)}{3(\alpha^2-1)}=\frac{2(\alpha^2+\alpha+1)}{3(\alpha+1)}\end{align*}}$
上と同様に、C上の点(t，f(t))における接線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\left(3t^2-3t\right)x-2t^3+2\end{align*}}$ ･････････(*)
であり、これが点$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\end{align*}}$ を通るとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0=\left(3t^2-3t\right)\cdot\frac{2(\alpha^2+\alpha+1)}{3(\alpha+1)}-2t^3+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (\alpha+1)t^3-(\alpha^2+\alpha+1)t^2+\alpha^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(t-\alpha\right)\left(t-1\right)\left\{\left(\alpha+1\right)t+\alpha\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=1\ ,\ \ \alpha\ ,\ \ -\frac{\alpha}{\alpha+1}\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha^gt 1\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(1)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(\alpha)=3\alpha^2-3\gt 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'\left(-\frac{\alpha}{\alpha+1}\right)=--\frac{3(2\alpha+1)}{(\alpha+1)^2}\lt 0\end{align*}}$
なので、接線の傾きが最小になるような接点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{x=-\frac{\alpha}{\alpha+1}}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha=2\end{align*}}$ のとき、(1)で求めた接点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=-\frac{2}{3}\end{align*}}$
よって、接線$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ell\end{align*}}$ の方程式は(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=-\frac{5}{3}x+\frac{70}{27}\end{align*}}$
これとCの共有点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{5}{3}x+\frac{70}{27}=x^3-3x+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 27x^3-36x-16=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(3x+2\right)^2\left(3x-4\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=-\frac{2}{3}\ ,\ \ \frac{4}{3}\end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ell\end{align*}}$ とCで囲まれる部分の面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf\int_{-\frac{2}{3}}^{\frac{4}{3}}\left\{\left(-\frac{5}{3}x+\frac{70}{27}\right)-\left(x^3-3x+2\right)\right\}dx \\ &=\sf -\int_{-\frac{2}{3}}^{\frac{4}{3}}\left(x+\frac{2}{3}\right)^2\left(x-\frac{4}{3}\right)dx\\ &=\sf -\int_{-\frac{2}{3}}^{\frac{4}{3}}\left(x+\frac{2}{3}\right)^2\left(x+\frac{2}{3}-2\right)dx\\ &=\sf -\int_{-\frac{2}{3}}^{\frac{4}{3}}\left\{\left(x+\frac{2}{3}\right)^3-2\left(x+\frac{2}{3}\right)^2\right\}dx\\ &=\sf -\left[\frac{1}{4}\left(x+\frac{2}{3}\right)^4-\frac{2}{3}\left(x+\frac{2}{3}\right)^3\right]_{-\frac{2}{3}}^{\frac{4}{3}}\\ &=\sf \underline{\frac{4}{3}} \end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/04/21(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .一橋大 2019
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