第1問
pを自然数とする。数列$\small\sf{\left\{a_n\right\}}$ を
$\small\sf{a_1=1\ ,\ \ a_2=p^2\ ,\ \ a_{n+2}=a_{n+1}-a_n+13\ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)}$
により定める。数列$\small\sf{\left\{a_n\right\}}$ に平方数でない項が存在することを示せ。
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【解答】
与えられた漸化式を用いて項を順次求めていくと、
$\scriptsize\sf{a_3=p^2-1+13=p^2+12}$
$\scriptsize\sf{a_4=(p^2+12)-p^2+13=25}$
$\scriptsize\sf{a_5=25-(p^2+12)+13=26-p^2}$
$\scriptsize\sf{a_6=(26-p^2)-25+13=14-p^2}$
$\scriptsize\sf{p=1}$ のとき
$\scriptsize\sf{a_3=13}$ は平方数ではない
$\scriptsize\sf{p=2}$ のとき
$\scriptsize\sf{a_5=22}$ は平方数ではない
$\scriptsize\sf{p=3}$ のとき
$\scriptsize\sf{a_5=17}$ は平方数ではない
$\scriptsize\sf{p\gt 4}$ のとき
$\scriptsize\sf{a_6\lt 0}$ となり、平方数とならない
以上より、数列$\scriptsize\sf{\left\{a_n\right\}}$ に平方数でない項が存在する。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/04/19(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .一橋大 2019
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